∫1/√(9+4x^2)dx= (1/2)ln|2x + √(9 + 4x²)| + C。C为常数。
解答过程如下:
令√(9 + 4x²) = √[9 + 9(4x²/9)] = √[9 + 9(2x/3)²] = √(9 + 9tan²θ) = √(9sec²θ) = 3secθ
设(2x/3) = tanθ,dx = (3/2)sec²θ dθ
原式= ∫ 1/(3secθ)•(3/2)sec²θ dθ
= (1/2)∫ secθ dθ
= (1/2)ln|secθ + tanθ| + C
= (1/2)ln| [2x + √(9 + 4x²)]/3 | + C
= (1/2)ln|2x + √(9 + 4x²)| + C
扩展资料:
用积分公式:
1)∫0dx=c
2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3)∫1/xdx=ln|x|+c
4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5)∫e^xdx=e^x+c
6)∫sinxdx=-cosx+c
7)∫cosxdx=sinx+c
8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c
求不定积分的方法:
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x);而前面的剩下的正好是关于f(x)的函数,再把f(x)看为一个整体,求出最终的结果。
分部积分,就那固定的几种类型,无非就是三角函数乘上x,或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的,记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘(x)dx=df(x)变形,再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx这样的公式,当然x可以换成其他g(x)
= ∫ dx / 3√[1+(2x/3)²]
= ½ ∫ d(2x/3) / √[1+(2x/3)²]
= ½ arcsinh(2x/3) + C
即
½ ln {2x/3 + √[1+(2x/3)² ] } + C
= ½ ln { [2x + √(9+4x²) ]/3 } + C
= ½ ln [2x + √(9+4x²) ] - ½ ln3 + C
= ½ ln [2x + √(9+4x²) ] + C'
设(2x/3) = tanθ,dx = (3/2)sec²θ dθ
原式= ∫ 1/(3secθ)•(3/2)sec²θ dθ
= (1/2)∫ secθ dθ
= (1/2)ln|secθ + tanθ| + C
= (1/2)ln| [2x + √(9 + 4x²)]/3 | + C
= (1/2)ln|2x + √(9 + 4x²)| + C