Question

如图，已知直线 交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作

如图，已知直线 交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA ，垂足为D.

若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.

Answer 1

已知直线 交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA ，垂足为D，若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.
解：连接CE，BE，过C作CF⊥AE，F为垂足；由于AC是∠PAE的平分线，故CF=CD=h；AD=AF；∠ACE是直径上的圆周角，故∠ACE是直角，CF是斜边上的高，∴AC²=AE×AF，
其中AC²=CD²+AD²=h²+(6-h)²=2h²-12h+36；AF=AD=(6-h)，代入得2h²-12h+36=10×(6-h)，
即有2h²-2h-24=2(h²-h-12)=2(h-4)(h+3)=0，故h=4；因此AD=AF=2；
设∠FAC=∠DAC=α，那么tanα=CF/AF=4/2=2，于是tan∠EAB=tan(180°-2α)=-tan2α
=-2tanα/(1-tan²α)=-4/(1-4)=4/3；故cos∠EAB=3/5；∠B=90°；
∴AB=AEcos∠EAB=10×(3/5)=6

追问

于是tan∠EAB=tan(180°-2α)=-tan2α
=-2tanα/(1-tan²α)=-4/(1-4)=4/3
怎么回事？？？？？？？？？？？？？？？？？？

这是初三的吗？？？？？？？？？

追答

tan(180°-2α)=-tan2α，是三角诱导公式；tan2α=2tanα/(1-tan²α)是正切函数的倍角公式。
对不起，我把你当成高中生了。那我不用三角重作一下。
解：连接CE，BE，过C作CF⊥AE，F为垂足；由于AC是∠PAE的平分线，故CF=CD=h；AD=AF；∠ACE是直径上的圆周角，故∠ACE是直角，CF是斜边上的高，
∴AC²=AE×AF，
其中AC²=CD²+AD²=h²+(6-h)²=2h²-12h+36；AF=AD=(6-h)，
代入得2h²-12h+36=10×(6-h)，
即有2h²-2h-24=2(h²-h-12)=2(h-4)(h+3)=0，故h=4；因此AD=AF=2；
于是AC=√(16+4)=√20=2√5；又CE×AC=AE×CF(=RT△ACE面积的2倍)，
故CE=AE×CF/AC=10×4/(2√5)=20/√5=4√5.
设∠FAC=∠DAC=α，则∠BAE=180°-2α，
∠AEB=90°-∠BAE=90°-(180°-2α)=2α-90°；
∠AEC=90°-∠FAC=90°-α；
∴∠BEC=∠AEB+∠AEC=(2α-90°)+(90°-α)=α=∠DAC；
过C作CG⊥BE，G为垂足。故RT△CEG～RT△CAD，
∴CG/CD=CE/CA，即有CG=CD×CE/CA=4×4(√5)/2√5=8=BD，
∴AB=BD-AD=8-2=6。

追问

谢谢你这么用心地告诉我~~~~~~~~~
但2楼的过程较简单
所以对不起，我选了2楼的
希望您别生气
希望你以后能继续帮助我

Answer 2

出现DC+DA=6一般首先考虑从几何上构造。但是这个题有更简单的方法。
题目给出AE=10，而三角形ACD和AEC相似，设AD=x，DC=y，可以根据相似关系列出xy的一个关系式。结合x+y=6可以列两个关系式，解出x=2，y=4。三角形ACD就可以解出来。
再根据cos∠EAB=-cos（∠EAC+∠CAD）=-cos（2∠CAD）=1-2/5=3/5。AB=6
这种题主要是思路，计算过程大同小异。两个未知数一般找两个独立的关系式，这个题里DC+DA=6是一个，另一个就是在圆的比较常见的直角三角形相似。

追问

三角形ACD和AEC相似 怎么证？？？
cos∠EAB=-cos（∠EAC+∠CAD）=-cos（2∠CAD）=1-2/5=3/5 ？？？？？？？？

追答

三角形ACD和AEC中
1，三角形ACD和AECAC平分∠PAE得出∠DAC=∠CAE
2，∠ACE是直径对应的圆周角，所以是直角，这样两个三角形是直角三角形，所以相似。

我不知道你是初三的，倍角公式是高中的内容。
用初三的知识也能做出来。具体步骤如下：
已解得AD=2，DC=4，容易解得AC=2√5，CE=4√5 。设AB=m，BE=n。设CH⊥BE于H，那么直角三角形的三边为CE=4√5 ，CH=BD=m+2，HE=BE-DC=n-4，这样就可以列一个方程
（m+2）²+（n-4）²=（4√5）² ①
根据三角形ABE是直角三角形可以列出
（m）²+（n）²=（10）² ②
① 减去②后化简得出m=2n-10 ③
将③代入②中即可解得n=8或者0（舍去）
那么AB=m=2×8-10=6
对于这种题，解两个未知数就找两个独立的关系式求解。