Question

已知二次函数y=x^2-2mx+4m-8

（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（2）以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值．

Answer 1

(1)y=(x-m)^2-m^2+4m-8
对称轴是x=m,又当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围m>=2.
(2)
顶点A的坐标为（m，-m2+4m-8）
△AMN是抛物线的内角正三角形，
MN交对称轴于点B，则AB=根号3 BM=根号3 BN，
设BM=BN=a，则AB=根号3a，
∴点M的坐标为（m+a， 根号3a-m2+4m-8），
∵点M在抛物线上，
∴ 根号3a-m2+4m-8=（m+a）2-2m（m+a）+4m-8
整理得：a2- 根号3a=0
得：a= 根号3（a=0舍去）
所以△AMN是边长为2根号3 的正三角形，
S△AMN= 0.5×2根号3 ×3=3 根号3，与m无关；
(3)）x= ＝m
∵图象与x轴交点的横坐标均为整数
∴整数m=2