Question

如图已知抛物线经过A(-2,0)B(-3,3)及原点O，顶点为C

P是抛物线上的第一象限的动点，是否存在点P，使PMA为顶点的三角形与三角形BOC相似，若存在，求P坐标

Answer 1

P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；
解：设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c，把A(-2,0)B(-3,3)及原点O代入，解得a=1，b=2，c=0，所以抛物线的解析式为y=x^2+2x，顶点C的坐标为（-1，-1），OB=3根号2，OC=根号2，设P点的坐标为（x，x^2+2x），则M的坐标为（x，0），使三角形AMP与三角形BOC相似，则有：
（1）PM：AM=OC：BO，即(x^2+2x)：(2+x)=根号2：3根号2，整理得3x^2+5x-2=0，解得x=1/3(x=-2不合题意舍去)，x^2+2x=7/9，所以P点的坐标为（1/3，7/9）；
（2）PM：AM=BO：CO，即(x^2+2x)：(2+x)=3根号2：根号2，整理得3x^2+5x-2=0，解得x=3，
(x=-2不合题意舍去)，x^2+2x=15，所以P点的坐标为（3，15）。

Answer 2

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，
解得．
故抛物线的解析式为y=x2+2x；
（2）存在，如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．
∴△BOC是直角三角形．假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x）得：x1=，x2=﹣2（舍去）．当x=时，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．

Answer 3

存在，如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．
∴△BOC是直角三角形．假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x）得：x1=，x2=﹣2（舍去）．当x=时，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．