Question

f(x)=xlnx设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数）

细致一些哦，我很笨的

Answer 1

g(x)=xlnx-a(x-1)
g'(x)=lnx+1-a=0, x=e^(a-1)

当e^(a-1)>e, 即a>2时 函数在[1,e]上g'(x)<0为单调减函数，最小值为g(e)=e-a(e-1)
当1<e^(a-1)<e,即1<a<2时 函数在x=e^(a-1)处取得极值，因为左边递减右边递增，所以是最小值，为（a-1）e^(a-1)-a(e^(a-1)-1)
当e^(a-1)<1, 即a<1时 函数在[1,e]上g'(x)>0为单调增函数，最小值为g(1)=0

追问

为什么当e^(a-1)>e, 即a>2时 函数在[1,e]上
g'(x)<0就是单调减函数？
难道e的负几次方 ，e就是减函数了么？ e 的正几次方，e就是增函数？

追答

一个连续函数的一介导数在某点小于零说明在该点它随着x的增加而减小，如果是一个区间的话就说明在整个区间上递减

追问

我不明白为什么a>2 ， g'(x)<0
还有难道e的负几次方 ，e就是减函数了么？ e 的正几次方，e就是增函数？

追答

a>2时，在[1,e]上g'(x)=lnx+1-a<0
还有个没看懂，具体点是指e^(-x)和e^x吗？

追问

为啥a>2时在[1,e]上g'(x)=lnx+1-a<0啊，难道lnx-1<2吗？
恩就是e^(-x)和e^x

追答

在[1,e]上0<lnx<1，所以lnx-1<2
e^(-x)是减函数，e^x是增函数

追问

为什么图像是左边减右边增？ 还有为什么当1<e^(a-1)<e,即1<a<2时， 函数就在x=e^(a-1)处取得极值？

追答

左边减是因为左边一介导数小于零，右边一介导数大于零
因为当1<e^(a-1)<e,即1<a<2时，g'(x)=lnx+1-a=0的解x=e^(a-1)在题目所给的区间[1,e]中，极值点处导数为零

追问

我明白了