Question

你好，我看过你答的一条数学题，有些不懂。

题目是：求两条渐近线为x+-2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为8根3/3的双曲线方程。
我想问的是为什么不是有两条呢？也可能是a/b=1/2不是吗？

Answer 1

渐近线为X（+，—）2Y=0
Y=（+，—）（1/2）x
所以b/a=1/2
所以a=2b

双曲线方程可设为
x^2/4b^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
与x-y-3=0联立
可得3y^2-6y+4b^2-9=0
设双曲线与直线交点为（x1,y1）,(x2,y2),则上述方程两根为y1,y2
则y1+y2=2,y1*y2=(4b^2-9)/3
x1-x2=(y1+3)-(y2+3)=y1-y2

而双曲线截直线所得弦长的平方
=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=2(y1-y2)^2
=2(y1^2+y2^2-2y1y2)
=2[(y1+y2)^2-4y1y2]
=2[4-4(4b^2-9)/3]
=8[1-(4b^2-9)/3]=(8√3/3)^2=64/3
所以1-(4b^2-9)/3=8/3
3-(4b^2-9)=8
b^2=1
解之得b=1（因为b>0）

所以双曲线方程为x^2/4-y^2=1(a>0,b>0)

Answer 2

两条渐近线为x+-2y=0
设双曲线方程为
x^2-4y^2=m 与x-y-3=0 联立消去y
3x^2-24x+m+36=0
设弦的端点A（x1,y1),B(x2,y2)
x1+x2=8,x1x2=12+m/3
|AB|=√2√[(X1+X2)^2-4X1X2]=8√3/3
√2√[64-4(12+m/3)]=8√3/3
==> m=4
∴双曲线方程为x^2-4y^2=4
即x^2/4-y^2=1

不必纠结是哪种类型的双曲线，
直接由渐近线方程写出所求双
曲线方程，自然求出符合条件
的双曲线方程。
若知道渐近线为px±qy=0
双曲线方程为p^2x^2-q^2y^2=m(m≠0)

Answer 3

??buhui