Question

已知实数a不等于0函数f（x）={ax（x-2）^2}x属于R若对任意x属于[-2,1]不等式f（x)小于32恒成立求a的取值范

Answer 1

已知实数a不等于0函数f(x)=ax(x-2)²，x∈R若对任意x∈[-2,1]，不等式f（x)<32恒成立；求a的取值范
解：f(x)=ax(x²-4x+4)=ax³-4ax²+4ax，令f′(x)=3ax²-8ax+4a=a(3x²-8x+4)=a(3x-2)(x-2)=0，
得驻点x₁=2/3，x₂=2；当a>0时，在区间(-∞，2/3]∪[2，+∞)内f′(x)>0，即在此而区间内f(x)
单调增；在区间[2/3，2]内f′(x)<0，即在此区间内f(x)单调减。故要使x∈[-2,1]不等式f（x)<32恒
成立，应取f(2/3)=(2a/3)(2/3-2)²=32a/27<32，即应取0<a<27；
当a<0时，在区间(-∞，2/3]∪[2，+∞)内f′(x)<0，即在此而区间内f(x)单调减；在区间[2/3，2]内
f′(x)>0，即在此区间内f(x)单调增；故要使x∈[-2,1]不等式f（x)<32恒成立，应取f(-2)=-32a<32，
即应取-1<a<0；
综上所述，a的取值范围为(-1，0)∪(0，27).

Answer 2

f(x)=ax(x^2-4x+4)=ax^3-4ax^2+4ax
求导
导数=3ax^2-8ax+4a=0
(3ax-2a)(x-2)=0
x=2/3或x=2
∵x属于R若对任意x属于[-2,1]
1、当a>0时，x∈[-2,2/3）f(x)为增函数，x∈（2/3,1],f(x)为减函数
因此此时f(x)最大值为f(2/3)=32/27a
∵不等式f（x)小于32恒成立
∴32/27a<32 0<a<27
2、当a<0时，x∈[-2,2/3）f(x)为减函数，x∈（2/3,1],f(x)为增函数
因此，此时f(x)最大值为f(-2)=-8a,
∵不等式f（x)小于32恒成立
∴-8a<32 -4<a<0

综上所述，当0<a<27或-4<a<0时，不等式恒成立。

f(2/3)=a*8/27-4a*4/9+4a*2/3=

Answer 3

同意楼上的