Question

已知抛物线上y=x²存在两个不同的点M,N关于y=-kx+9/2对称,求k的范围

Answer 1

设MN的方程为x-ky+c=0 (k≠0)
代入y=x²
y=(ky-c)²
k²y²-(2kc+1)y+c²=0
判别式=(2kc+1)²-4k²c²>0
4kc+1>0
2kc>-1/2
MN中点纵坐标 (2kc+1)/2k²
横坐标 (2kc+1)/2k -c=1/2k
中点在y=-kx+9/2上
(2kc+1)/2k²=4
2kc+1=8k²
2kc=8k²-1>-1/2
所以 8k²>1/2
k²>1/16
k>1/4或k< -1/4

Answer 2

设 M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN的中点为P(x0,y0)
则 y1=x1²，y2=x2²
两式相减，得
y2-y1=(x2-x1)(x2+x1)
所以 MN的斜率为：(y2-y1)/(x2-x1)=x2+x1=2x0
又 MN关于y=-kx +9/2对称，所以
(-k)(2x0)=-1 (1)
y0=-kx0+9/2 (2)
解得 x0=1/(2k)，y0=4
因为P(x0，y0)是MN的中点，在抛物线内部，从而 y0>x0²
即 4>[1/(2k)]²，k²>1/16，k>1/4或 k<-1/4

Answer 3

我们设M、N的横坐标分别a、b，则对应的纵坐标是a^2、b^2
即M(a,a^2),N(b,b^2)
因为MN关于y=-kx+9/2对称，所以MN的中点在直线上，并且MN与直线垂直，即MN的斜率与-k的积是-1，所以有：

(a^2-b^2)/(a-b)*(-k)=-1,化简有 (a+b)=1/k
a^2+b^2=4

中点在抛物线开口内
4>(1/2k)^2
k>1/4 或 k<-1/4