Question

关于“函数在一点可导的充分必要是这点的左右导数存在且相等”的问题

如果一个函数可导，比如y=x^2,那么在函数上任取一点p，根据“这点的左右导数存在且相等”，那么p点左右导数存在且相等，而导数的几何意义是该店切线的斜率，设c,d为p点左右的点，这样不就是说c,d,p点的斜率相等了么？但是很明显y=X^2 的图像上斜率处处不等啊，求高人解释！！

Answer 1

设c,d为p点左右的点，每点的斜率等于其导数值，怎么就变成c,d,p点的斜率相等呢？
在p点导数是指在这点，左趋近和右趋近于这点可导（而不是其左右的点，这点很重要），并且其导数必要相等才可以
图像上斜率处处不等，所以各点都可以做切线。
我举个例子比如分段函数
f(x) = x (x>1)
f(x)= -x (x<1)
在x=1左导和右导不相等，

追问

这点的左右导数存在且相等啊，cd是p左右的点，那不就是c,d导数相等了么？左趋近和右趋近是什么意思？

追答

你的问题在于，a的左导数并不是a的左边的点的倒数(x1)
f(x)= -x (x<1)
对于x=1 在x趋紧1-时，即x<1且趋近于1，其值为-1，
在x趋紧1+时，即x〉1且趋近于1，其值为1，它们不等，所以 x=1不可导
对于x=2 在x趋紧2+,2-都是1，所以x=2可导

Answer 2

c点和d点是在p点的两侧
即c+@=p=d-@
而＠无限接近于零
所以这三点近似于一点，故可以说斜率相等！