Question

如图1，直线Y=2X-4分别交X轴、Y轴于B、A两点。交双曲线Y=K/X（x>0）于点C，三角形AOC的面积=8.

在C点右侧的双曲线上是否存在点P，使角PBC=45°？若存在，求其坐标

Answer 1

如图，直线y=2x-4交X轴于B，交Y轴于A，交双曲线y=k/x（x＞0）于C，S△AOC=8。
【1】求双曲线的解析式；
解：∵y=2x-4交X、Y轴于点B、A
∴B（2,0） A（0，-4）
设C（a,b)
∵S△AOC=8
∴4·a·1/2=8
a=4
当X=4时，y=2×4-4=4
∴C（4,4）
∴k=4×4=16
∴y=16/x
【2】在C点右侧的双曲线上是否存在点P，使∠PBC=45°，若存在，求P点的坐标，若不存在说明理由。
解：【辅助线是在双曲线上取一点P，是PC垂直于AC】
∵PC⊥AC
设PC解析式为y=1/2x+m
∵C（4,4）
∴4=-2+m
m=6
∴y=-1/2+6
∵P在y=16/x和y=-1/2x+6上
∴设P（n,16/n）
16/n=-n/2+6
32=-n²+12n
n²-12n+32=0
(n-4)(n-8)=0
∴n=4或n=8
又∵C（4,4）
点P在点C的右侧
∴n=8
∴P点的坐标为（8,2）
即P（8,2） 存在
【字母符号大写小写换来换去的不好打呀，况且还是上学的晚上这么晚，怎样也得给点分吧。】
【我数学一向不错，这题绝对没错，错了我不是人啊】【希望提问者能大发慈悲，给点分吧。】
【希望提问者能将我的回答选为最佳答案哦】
【楼上的两位回答得太复杂了，我看半天没看懂，我的容易看懂，不是吗？易懂啊，给分啊。】

Answer 2

S△AOC=8 ；S△AOC=S△AOB+S△OBC ；S△AOB=1/2 OB OA =1/2x2x4=4
则：S△OBC=1/2OB Yc=8-4=4 ；OB=2 所以Yc=4 ，C在直线上可知：Xc=(Yc+4)/2=4
C在 Y=K/X（x>0上，K=XcYc=4x4=16
所以y=16/x
所以C(4,4)，B（2,0）
所以CB的斜率为2,倾斜角为β
设p（x,y）
所以PB倾斜角为α，斜率为（y/(x-2)）
当P在C的右边时则有tan45=tan（β-α）
1=(tanβ-tanα)/(1+tanβ*tanα)
1=(2-y/(x-2))/(1+2*y/(x-2)) ①
y=16/x ②
两式联立，解出x=8，y=2
当P在C左边时则有tan45=tan（α-β）x无解
所以P（8,2）

Answer 3

可以根据三角形的面积，以及直线方程解出C点的坐标，然后解出双曲线的K是多少，我算了一下，K=16，根据推断，存在点P，满足角PBC=45°，然后解出即可

追问

怎么解？要做辅助线吗

追答

不要做辅助线，将三角形的面积拆成两部分，一部分在第四象限，即AOB的面积已经知道（A，B是直线和坐标轴的交点，可以解出坐标），然后三角形BOC的面积用OB的长乘以C的纵坐标即可，这样就可以解出C点的纵坐标，然后C点又在直线上，根据直线方程就可以解出其横坐标，然后C点又在双曲线上，解出K值，这样就没有未知的了，然后在图上需找P点即可，我没有解下去，只是分析了一下，P点一定存在。

追问

K=16我知道，但是P的坐标怎么求？

Answer 4

郭敦顒回答：
直线Y=2X-4分别交X轴,Y轴于B,A两点.交双曲线Y=K/X(x>0)于点C,
Y=2X-4，当y=0时，x=2；当x=0时，y=－4，
∴A的坐标是A（0，－4），B的坐标是B（2，0）
设C的坐标是C（x3，y3），代入方程Y=2X-4得，y3=2x3－4，
三角形AOC的面积=8=|OA|×x3/2=4×x 3/2－4
∴2x3=8，x 3=4，y3=2x3－4=8－4=4，y3=4，
C的坐标是C（4，4），
代入双曲线Y=K/X得，4= K/4，∴K=16
作GD⊥X轴于D，则∠CBD=∠ABO，
tan∠ABO = |OB|/ OA=4/2=2，∴∠ABO=63.435°，∠CBD=63.435°＞45°，
∴存在点P，使∠PBC=45°。
在B右边X任取一点M，
则∠PBM=∠CBM－∠PBC=63.435°－45°=18.435°， ∠PBM与∠CBD为同角）
设P的坐标是（x4，y4），作PE⊥X轴于E，又设BE=a，则有
y4=16/ x4，a=x4－2，
tan18.435°=1/3=y4/a，∴y4=a/3，∴16/x4=a/3， 16/ x4=（x4－2）/3
∴（x4）²－2 x4－48=0，
解得，x4=1±7，x4=1－7＜0不符合要求舍去，
∴x4=1+7=8，
y4=16/ x4=16/8=2，
∴P的坐标是P（8，2），
Y
C（4，4）

P（8，2）

45° 63.435°
O 18.435° X
B D a E M
（2，0）

A（0，4）

Answer 5

S△AOC=8 ；S△AOC=S△AOB+S△OBC ；S△AOB=1/2 OB OA =1/2x2x4=4
则：S△OBC=1/2OB Yc=8-4=4 ；OB=2 所以Yc=4 ，C在直线上可知：Xc=(Yc+4)/2=4
C在 Y=K/X（x>0上，K=XcYc=4x4=16
所以y=16/x
所以C(4,4)，B（2,0）
所以CB的斜率为2,倾斜角为β
设p（x,y）
所以PB倾斜角为α，斜率为（y/(x-2)）
当P在C的右边时则有tan45=tan（β-α）
1=(tanβ-tanα)/(1+tanβ*tanα)
1=(2-y/(x-2))/(1+2*y/(x-2)) ①
y=16/x ②
两式联立，解出x=8，y=2
当P在C左边时则有tan45=tan（α-β）x无解
所以P（8,2）