Question

帮忙一题高中数学，急！！！！

设x，y，z均为正数，且x+y+z=1，求1/x+4/y+9/z之最小值，此时(x,y,z)=？

求过程，谢谢了。

Answer 1

因为x，y，z均为正数，则
1/x+4/y+9/z
=(1/x+4/y+9/z)(x+y+z)
=1+y/x+z/x+4x/y+4+4z/y+9x/z+9y/z+9
=14+(y/x+4x/y)+(z/x+9x/z)+(4z/y+9y/z)
≥14+4+6+12=36
当且仅当y/x=4x/y且z/x=9x/z且4z/y=9y/z，又由x+y+z=1，解得
x=1/6,y=1/3,z=1/2
所以(x,y,z)=（1/6,1/3,1/2)时，1/x+4/y+9/z有最小值36.

Answer 2

1/x+4/y+9/z
=(x+y+z)(1/x+4/y+9/z)
=1+4x/y+9x/z +y/x+4+9y/z +z/x+4z/y+9
=14+(4x/y+y/x)+(9y/z+4z/y)+(z/x+9x/z)
≥14+2√[(4x/y)(y/x)]+2√[(9y/z)(4z/y)]+2√[(z/x)(9x/z)]
=14+4+12+6=36
当且仅当 4x²=y²，9y²=4z²，z²=9x²，即 x=1/6，y=1/3，z=1/2时
1/x+4/y+9/z有最小值为36

Answer 3

和移到证明题目类似
把x+y+z=1带入1/x+4/y+9/z中
1/x=1+y/x+z/x
4/y=4(x/y+1+z/y)
9/z=9(x/z+y/z+1)

三个式子加起来
1/x+4/y+9/z=14+ (y/x +4x/y )+(4z/y 9y/z)+(9x/z + +z/x)
括号里面在分别用均值不等式可得答案~

Answer 4

1/x+4/y+9/z=(x+y+z)/x+4(x+y+z)/y+9(x+y+z)/z
=14+(y+z)/x+4(x+z)/y+9(x+y)/z
=14+y/x+4x/y+z/x+9x/z+4z/y+9y/z
>=14+2*根号下（y/x*4x/y）+2*根号下（z/x*9x/z）+2*根号下（4z/y+9y/z
） =14+4+6+12
=36
此时y/x=4x/y，z/x=9x/z，4z/y=9y/z
所以，x=1/6,y=1/3,z=1/2

Answer 5

1/x+4/y+9/z=（x+y+z)/x+4(x+y+z)/y+9(x+y+z)/z=1+4+9+y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>=14+2+2+2=20;
所以x=y=z=1/3.

Answer 6

知道柯西不等式吧：(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2，当且仅当a/c=b/d时成立。则(1/x+4/y+9/z)(x+y+z)>=(1+2+3)^2=36,当且仅当1/(x^2)=4/(y^2)=9/(z^2)时成立，结合x+y+z=1易得x=1/6,y=1/3,z=1/2。柯西不等式在高中非常重要，要谨记，很多方面都要用到。