帮忙一题高中数学,急!!!!
设x,y,z均为正数,且x+y+z=1,求1/x+4/y+9/z之最小值,此时(x,y,z)=?求过程,谢谢了。...
设x,y,z均为正数,且x+y+z=1,求1/x+4/y+9/z之最小值,此时(x,y,z)=?
求过程,谢谢了。 展开
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7个回答
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因为x,y,z均为正数,则
1/x+4/y+9/z
=(1/x+4/y+9/z)(x+y+z)
=1+y/x+z/x+4x/y+4+4z/y+9x/z+9y/z+9
=14+(y/x+4x/y)+(z/x+9x/z)+(4z/y+9y/z)
≥14+4+6+12=36
当且仅当y/x=4x/y且z/x=9x/z且4z/y=9y/z,又由x+y+z=1,解得
x=1/6,y=1/3,z=1/2
所以(x,y,z)=(1/6,1/3,1/2)时,1/x+4/y+9/z有最小值36.
1/x+4/y+9/z
=(1/x+4/y+9/z)(x+y+z)
=1+y/x+z/x+4x/y+4+4z/y+9x/z+9y/z+9
=14+(y/x+4x/y)+(z/x+9x/z)+(4z/y+9y/z)
≥14+4+6+12=36
当且仅当y/x=4x/y且z/x=9x/z且4z/y=9y/z,又由x+y+z=1,解得
x=1/6,y=1/3,z=1/2
所以(x,y,z)=(1/6,1/3,1/2)时,1/x+4/y+9/z有最小值36.
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1/x+4/y+9/z
=(x+y+z)(1/x+4/y+9/z)
=1+4x/y+9x/z +y/x+4+9y/z +z/x+4z/y+9
=14+(4x/y+y/x)+(9y/z+4z/y)+(z/x+9x/z)
≥14+2√[(4x/y)(y/x)]+2√[(9y/z)(4z/y)]+2√[(z/x)(9x/z)]
=14+4+12+6=36
当且仅当 4x²=y²,9y²=4z²,z²=9x²,即 x=1/6,y=1/3,z=1/2时
1/x+4/y+9/z有最小值为36
=(x+y+z)(1/x+4/y+9/z)
=1+4x/y+9x/z +y/x+4+9y/z +z/x+4z/y+9
=14+(4x/y+y/x)+(9y/z+4z/y)+(z/x+9x/z)
≥14+2√[(4x/y)(y/x)]+2√[(9y/z)(4z/y)]+2√[(z/x)(9x/z)]
=14+4+12+6=36
当且仅当 4x²=y²,9y²=4z²,z²=9x²,即 x=1/6,y=1/3,z=1/2时
1/x+4/y+9/z有最小值为36
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和移到证明题目类似
把x+y+z=1带入1/x+4/y+9/z中
1/x=1+y/x+z/x
4/y=4(x/y+1+z/y)
9/z=9(x/z+y/z+1)
三个式子加起来
1/x+4/y+9/z=14+ (y/x +4x/y )+(4z/y 9y/z)+(9x/z + +z/x)
括号里面在分别用均值不等式可得答案~
把x+y+z=1带入1/x+4/y+9/z中
1/x=1+y/x+z/x
4/y=4(x/y+1+z/y)
9/z=9(x/z+y/z+1)
三个式子加起来
1/x+4/y+9/z=14+ (y/x +4x/y )+(4z/y 9y/z)+(9x/z + +z/x)
括号里面在分别用均值不等式可得答案~
参考资料: http://zhidao.baidu.com/question/91710678.html
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1/x+4/y+9/z=(x+y+z)/x+4(x+y+z)/y+9(x+y+z)/z
=14+(y+z)/x+4(x+z)/y+9(x+y)/z
=14+y/x+4x/y+z/x+9x/z+4z/y+9y/z
>=14+2*根号下(y/x*4x/y)+2*根号下(z/x*9x/z)+2*根号下(4z/y+9y/z
) =14+4+6+12
=36
此时y/x=4x/y,z/x=9x/z,4z/y=9y/z
所以,x=1/6,y=1/3,z=1/2
=14+(y+z)/x+4(x+z)/y+9(x+y)/z
=14+y/x+4x/y+z/x+9x/z+4z/y+9y/z
>=14+2*根号下(y/x*4x/y)+2*根号下(z/x*9x/z)+2*根号下(4z/y+9y/z
) =14+4+6+12
=36
此时y/x=4x/y,z/x=9x/z,4z/y=9y/z
所以,x=1/6,y=1/3,z=1/2
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1/x+4/y+9/z=(x+y+z)/x+4(x+y+z)/y+9(x+y+z)/z=1+4+9+y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>=14+2+2+2=20;
所以x=y=z=1/3.
所以x=y=z=1/3.
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知道柯西不等式吧:(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2,当且仅当a/c=b/d时成立。则(1/x+4/y+9/z)(x+y+z)>=(1+2+3)^2=36,当且仅当1/(x^2)=4/(y^2)=9/(z^2)时成立,结合x+y+z=1易得x=1/6,y=1/3,z=1/2。柯西不等式在高中非常重要,要谨记,很多方面都要用到。
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