Question

关于二项式定理的两道题~

（1）已知n属于正整数,求1+2+2^2+2^3+···+2^(4n-1)除以17的余数
（2）求（1.999）^5精确到0.001的近似值

Answer 1

（1）已知n属于正整数,求1+2+2^2+2^3+···+2^(4n-1)除以17的余数
1+2+2^2+2^3+···+2^(4n-1)
=(1-2^4n)/(1-2)
=2^(4n)-1
=16^n - 1
=(17-1)^n-1
① n是奇数，(17-1)^n的前n项都含有因数17，最后一项为-1，所以所求余数为15
②n是奇数，(17-1)^n的前n项都含有因数17，最后一项为1，所以所求余数为0
（2）求（1.999）^5精确到0.001的近似值
（1.999）^5
=（2-0.001）^5
≈2^5-C(5,1)*2^4 *0.001+C(5,2)*2^3*(0.001)^2
=32-0.08+0.00008
≈31.920