Question

概率中边缘密度的范围确定

题目是浙大《概率与数理统计》第四版86页第15题
设X服从（0,1）的均匀分布，当给定X＝x时，Y的条件概率密度是
f(y|x) = x (0<y<1/x) 其他y的取值为0

求边缘密度fY(y)
第一步求出联合密度f(x,y) = x (0<y<1/x,0<x<1)
第二步求的时候有些问题
题目中给的答案是：
当0<y<1时，f(y) 等于x在0到1上积分
当1<＝y时，f(y) 等于x在0到1/y上积分
我的问题是 如何从联合概率密度中导出0<y<1/x,0<x<1的边缘密度的积分范围？

Answer 1

求边缘分布时所用的f(y) =∫f(x,y) dx   其实不是一般意义上的定积分

应该把它看成是二重积分中的第一次积分（也就是先积分）

所以算∫f(x,y) dx  时的积分线是平行于x轴的（二重积分中先积哪个，就平行哪个）

当这个平行于x轴的线从y=o移向y=+∞时，它与积分范围边界线有不同的表达式，故要分段

追问

边缘密度看作是第一层积分，而把第二层积分的取值写成范围。这点没有异议
问题在于：
在0=1。所以我认为积分区间应该是y>=1时，f(y) 等于x在0到1/y上积分
我不知道这步当0<y<1时，f(y) 等于x在0到1上积分到底是怎么得来的？
另外，您费心画的哪个图，我实在没有看懂x=1不是应该垂直于x轴么。。难道坐标轴应该倒过来看吗？

追答

联合概率密度f(x,y)的范围是0<x<1与0<y<1/x,这两个的交集，当0＜y＜1时，积分范围的边缘曲线为直线x=1，故此时上限就是常数1
上一次回答中的x=1 我本来意思是指积分线从x=1穿出，结果你误会我意思了，呵呵