Question

已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x属于(0,1)时，f(x)=(2的x次)/

已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x属于(0,1)时，f(x)=(2的x次)/(4的x次+1). (1)求f(1)和f(-1)的值 (2)求f(x)在[-1,1]上的解析式

Answer 1

已知定义在R上的奇函数f(x),则f(x)=-f(-x)
所以在区间(-1,0) 上 f(x)=-f(-x)=-(2^-x)/(4^-x+1)=-(2^x)/(4^x+1)
f(-1)=-f(1)
f(x)有最小正周期2
f(-1)=f(-1+2)=f(1)
所以 f(-1)=-f(1)=f(1)=0
f(0)=0
f(x)=0,x=1;
f(x)=-(2^x)/(4^x+1), -1<x<0
f(x)=0,x=0
f(x)=(2^x)/(4^x+1),0<x<1
f(x)=0,x=1

Answer 2

(1)由条件
f(1)=f(-1)=-f(1),故f(1)=f(-1)=0
(2)x∈(-1,0)时，-x∈(0,1)
f(-x)=(2的-x次)/(4的-x次+1)=-f(x)
∴f(x)=-(2的-x次)/(4的-x次+1)=-(2的x次)/(4的x次+1)
最后合成分段函数即可