Question

偏微分方程的分类

偏微分方程分为椭圆型、抛物型、双曲型的分类依据是什么？

Answer 1

微分方程可分为以下几类，而随着微分方程种类的不同，其相关研究的方式也会随之不同。
常微分方程及偏微分方程
-常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变量的函数 。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：
f\left(x, \frac{d^n y}{dx^n},\frac{d^{(n-1)} y}{dx^{(n-1)}},\cdots, \frac{dy}{dx}, y\right)=0
常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变量导数的最高阶数 :p.3，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程：
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0
（其中y为应变量）为二阶微分方程，其解为贝塞尔函数。
-偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知数是多个自变量的函数 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。像以下的方程就是偏微分方程：
\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.
线性及非线性
常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。
若微分方程中没有出现未知数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现未知数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。
齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。
若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程:p.315-316，因此简化求解的过程。
针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。有关非线性微分方程的一些基本问题，例如解的存在性、唯一性及初始值非线性微分方程的适定性问题，以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题，甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。例如2000年提出的7个千禧年大奖难题中，其中一个是纳维-斯托克斯存在性与光滑性，都是探讨纳维－斯托克斯方程式其解的数学性质，至2012年8月为止此问题尚未被证明。
线性微分方程常常用来近似非线性微分方程，不过只在特定的条件下才能近似。例如单摆的运动方程为非线性的微分方程，但在小角度时可以近似为线性的微分方程。
举例
以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。
非齐次一阶常系数线性微分方程：
\frac{du}{dx} = cu+x^2.
齐次二阶线性微分方程：
\frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0.
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
\frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0.
非齐次一阶非线性微分方程：
\frac{du}{dx} = u^2 + 1.
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0.
以下是偏微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x及t或者是x及y。
齐次一阶线性偏微分方程：
\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.
拉普拉斯方程，是椭圆型的齐次二阶常系数线性偏微分方程：
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.
KdV方程，是三阶的非线性偏微分方程：
\frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}.

Answer 2

科普中国·科学百科：偏微分方程

Answer 3

二阶偏微分方程的一般形式为
A*Uxx+2*B*Uxy+C*Uyy+D*Ux+E*Uy+F*U=0
其特征方程为
A*(dy)^2-2*B*dx*dy+C*(dx)^2=0
若在某域内B^2-A*C<0则在此域内称为椭圆形方程
若在某域内B^2-A*C=0则在此域内称为抛物形方程
若在某域内B^2-A*C>0则在此域内称为双曲形方程
其实主要是按特征方程的曲线类型分的
注：
Uxx表示U对x求二阶偏导，Uyy表示U对y求二阶偏导，Uxy表示对x求一阶偏导后再对y求一阶偏导，Ux表示U对x求一阶偏导，Uy表示U对y求一阶偏导
partial符号实在打不出来