Question

已知函数f(x)=-x*2+ax+lnx+b

（）若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2,求a,b的值；（）若a=1,函数f(x)的图像能否总在直线y=b+1的下方？若能，请加以证明；若不能，请说明理由。

Answer 1

由题意：f(1)=2 f'(1)=0 f'(x)=-2x+a+(1/x) 得
-1+a+b=2 -2+a+1=0
a=1 b=2
2、f(x)=-x²+x+lnx+b [x>0] f'(x)=-2x+(1/x)+1=-(2x+1)(x-1)/x
令f'(x)>0 得：0<x<1 即：f(x)在（0,1）上是增函数
令f'(x)<0 得：x>1 即：f(x)在（1，正无穷）上是减函数
所以：f(x)≤f(x)的最大值=f(1)=b<b+1
即：若a=1,函数f(x)的图像能否总在直线y=b+1的下方

Answer 2

第一题a=1,b可以为任何实数
第二题.f(x)= -2x+x+lnx+b ＜b+1
-x+lnx＜1
x+1>lnx
在(0,∞)上恒成立所以是可以的