Question

高二数学，求定积分。

求f3,-3 (9-x^2)^(1/2)dx 的定积分
不用图像法。。。可不可以用牛顿莱布尼茨公式来求。。。
顺便问下怎么求速度最快，效率最高、、

谢谢
你们这回答都对》。。。研究了一下午我都看懂了...
真不知道该给谁加分

Answer 1

在高中阶段是不会用定积分直接计算的，因为牛顿莱布尼茨公式需要求出原函数。而你不会求。
速度最快，效率最高的方法就是图像法。并且注意到y=(9-x^2)^(1/2)是偶函数，只需算出0~3部分再乘以2就可以了。求圆面积还是比较简单的。
如果用牛顿莱布尼兹公式：令x=3sint 则dx=3costdt
∫(9-x^2)^(1/2)dx = 9∫cos²tdt = 9/2∫(1+cos2t)/2 d(2t) = 9/4(2t + sin2t) + C = 0.5(√(9-x^2) + 9arcsin(x/3)) + C
∫【-3~3】(9-x^2)^(1/2)dx = 0.5(√(9-x^2) + 9arcsin(x/3)) ||【-3~3】= 9π/2

Answer 2

f3,-3 (9-x^2)^(1/2)dx
=2∫（0,3） (9-x^2)^(1/2)dx
令x=3cost
原式=2∫（π/2,0）(-9)sin²tdt
=9∫（0,π/2）(1-cos2t)dt
=9t|（0,π/2）-9/2sin2t|（0,π/2）
=9π/2

追问

我是高二的。。看不怎么懂过程。。能解释一下吗？谢谢

追答

这是积分换元法，你高二可能怎么讲你也不明白的，算了吧！

Answer 3

x=3sina
dx=3cosada
x=-3,a=-π/2
x=3,a=π/2
所以原式=∫(π/2,-π/2)(3cosa)(3cosada)
=9∫(π/2,-π/2)cos²ada
=9/2∫(π/2,-π/2)(1+cos2a)/2 d(2a)
=9/2*(a+sin2a/2) (π/2,-π/2)
=9π/2

追问

我是高二的。。看不怎么懂过程。。能解释一下吗？谢谢

追答

哪里不懂

Answer 4

Answer 5

可以啊，求出原函数，再用上限减下限啊~~