Question

谁能解这个方程，我是解不出来，我的数学老师也解不出来，难道是这个方程有问题？y'=(1+y^2)/(xy+x^3y)

y'=(1+y^2)/(xy+x^3y)
如果进行变量分离，左面可以积分，右边成了1/（x+x^3)对x做积分，反正我是做不出来，我数学老师也做不出来，我猜想如果这个方程有解，应该是通过变量变换或者其他的方式得到的。

Answer 1

解：y'=dy/dx=(1+y^2)/(xy+x^3y)
y/(1+y^2）dy=1/x(1+x^2) dx
y/(1+y^2）dy=[1/x-x/(1+x^2)]dx
d[1/2ln(1+y^2）]=d[lnx-1/2ln(1+x^2)]
1/2ln(1+y^2)=lnx-1/2ln(1+x^2)+C1
∴ ln(1+y^2)=2lnx-ln(1+x^2)+C 2
=ln[x^2/(1+x^2)]+C2
则1+y^2=C * [x^2/(1+x^2)]
y^2=C * [x^2/(1+x^2)]-1

Answer 2

首先问一句，是关于x，还是关于y的？
x，y的二元方程，必须化成一元方程，才会有唯一的解，否则，是在一条直线上，有无数多的解，因为线是有无数多的点组成的。

追问

..........................这是微分方程
而且大部分的2元的方程解不再一条直线上，在一条线上的通常是线性方程（最高次不超过1的方程），譬如圆或者椭圆即圆锥曲线方程的解就不再直线上，而是圆锥曲钱上。

Answer 3

太难了··我也解不出来···

追问

是不是方程有问题

Answer 4

• 原方程化为分离变量的形式： y/(1+y²)dy = (x+x³)dx

• 对两边分别积分：∫ y/(1+y²)dy = ∫(x+x³)dx

• 这两个积分很好积，别忘了加常数项：y² = Cexp{x²+0.5x⁴ } - 1