Question

用代码实现几种排序算法的时间复杂度比较

Answer 1

一、简单排序算法
　　由于程序比较简单，所以没有加什么注释。所有的程序都给出了完整的运行代码，并在我的VC环境
　　下运行通过。因为没有涉及MFC和WINDOWS的内容，所以在BORLAND C++的平台上应该也不会有什么
　　问题的。在代码的后面给出了运行过程示意，希望对理解有帮助。
1.冒泡法：
　　这是最原始，也是众所周知的最慢的算法了。他的名字的由来因为它的工作看来象是冒泡：
　　#include <iostream>
　　using namespace std;
　　void BubbleSort(int * pData, int Count)
　　{
　　int iTemp;
　　for (int i=0; i<Count; i++)
　　{
　　for (int j=Count-1; j>i; j--)
　　{
　　if (pData[j]<pData[j-1])
　　{
　　iTemp = pData[j-1];
　　pData[j-1] = pData[j];
　　pData[j] = iTemp;
　　}
　　}
　　}
　　}
　　void main()
　　{
　　int data[7] = {10,9,8,7,6,5,4};
　　BubbleSort(data,7);
　　for (int i=0; i<7; i++)
　　{
　　cout<<data[i]<<" ";
　　}
　　cout<<endl;
　　system("PAUSE");
　　}
　　倒序(最糟情况)
　　第一轮：10，9，8，7->10，9，7，8->10，7，9，8->7，10，9，8(交换3次)
　　第二轮：7，10，9，8->7，10，8，9->7，8，10，9(交换2次)
　　第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10(交换1次)
　　循环次数：6次
　　交换次数：6次
　　其他：
　　第一轮：8，10，7，9->8，10，7，9->8，7，10，9->7，8，10，9(交换2次)
　　第二轮：7，8，10，9->7，8，10，9->7，8，10，9(交换0次)
　　第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10(交换1次)
　　循环次数：6次
　　交换次数：3次
　　上面我们给出了程序段，现在我们分析它：这里，影响我们算法性能的主要部分是循环和交换，
　　显然，次数越多，性能就越差。从上面的程序我们可以看出循环的次数是固定的，为1+2+...+n-1。
　　写成公式就是1/2*(n-1)*n。
　　现在注意，我们给出O方法的定义：
　　若存在一常量K和起点n0，使当n>=n0时，有f(n)<=K*g(n)，则f(n) = O(g(n))。（呵呵，不要说没学好数学呀，对于编程数学是非常重要的！！！）
　　现在我们来看1/2*(n-1)*n，当K=1/2，n0=1，g(n)=n*n时，1/2*(n-1)*n<=1/2*n*n=K*g(n)。所以f(n)
　　=O(g(n))=O(n*n)。所以我们程序循环的复杂度为O(n*n)。
　　再看交换。从程序后面所跟的表可以看到，两种情况的循环相同，交换不同。其实交换本身同数据源的
　　有序程度有极大的关系，当数据处于倒序的情况时，交换次数同循环一样（每次循环判断都会交换），
　　复杂度为O(n*n)。当数据为正序，将不会有交换。复杂度为O(0)。乱序时处于中间状态。正是由于这样的
　　原因，我们通常都是通过循环次数来对比算法。
2.交换法：
　　交换法的程序最清晰简单，每次用当前的元素一一的同其后的元素比较并交换。
　　#include <iostream.h>
　　void ExchangeSort(int* pData，int Count)
　　{
　　int iTemp;
　　for(int i=0;i<Count-1;i++)
　　{ //共（count-1)轮，每轮得到一个最小值
　　for(int j=i+1;j<Count;j++)
　　{ //每次从剩下的数字中寻找最小值，于当前最小值相比，如果小则交换
　　if(pData[j]9，10，8，7->8，10，9，7->7，10，9，8(交换3次)
　　第二轮：7，10，9，8->7，9，10，8->7，8，10，9(交换2次)
　　第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10(交换1次)
　　循环次数：6次
　　交换次数：6次
　　其他：
　　第一轮：8，10，7，9->8，10，7，9->7，10，8，9->7，10，8，9(交换1次)
　　第二轮：7，10，8，9->7，8，10，9->7，8，10，9(交换1次)
　　第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10(交换1次)
　　循环次数：6次
　　交换次数：3次
　　从运行的表格来看，交换几乎和冒泡一样糟。事实确实如此。循环次数和冒泡一样
　　也是1/2*(n-1)*n，所以算法的复杂度仍然是O(n*n)。由于我们无法给出所有的情况，所以
　　只能直接告诉大家他们在交换上面也是一样的糟糕（在某些情况下稍好，在某些情况下稍差）。
3.选择法：
　　现在我们终于可以看到一点希望：选择法，这种方法提高了一点性能（某些情况下）
　　这种方法类似我们人为的排序习惯：从数据中选择最小的同第一个值交换，在从省下的部分中
　　选择最小的与第二个交换，这样往复下去。
　　#include <iostream.h>
　　void SelectSort(int* pData，int Count)
　　{
　　int iTemp;
　　int iPos;
　　for(int i=0;i<Count-1;i++)
　　{
　　iTemp = pData;
　　iPos = i;
　　for(int j=i+1;j<Count;j++)
　　{
　　if(pData[j]<iTemp)
　　{
　　iTemp = pData[j];
　　iPos = j;
　　}
　　}
　　pData[iPos] = pData;
　　pData = iTemp;
　　}
　　}
　　void main()
　　{
　　int data[] = {10，9，8，7，6，5，4};
　　SelectSort(data，7);
　　for (int i=0;i<7;i++)
　　cout<<data<<" ";
　　cout<<"\n";
　　}
　　倒序(最糟情况)
　　第一轮：10，9，8，7->(iTemp=9)10，9，8，7->(iTemp=8)10，9，8，7->(iTemp=7)7，9，8，10(交换1次)
　　第二轮：7，9，8，10->7，9，8，10(iTemp=8)->(iTemp=8)7，8，9，10(交换1次)
　　第一轮：7，8，9，10->(iTemp=9)7，8，9，10(交换0次)
　　循环次数：6次
　　交换次数：2次
　　其他：
　　第一轮：8，10，7，9->(iTemp=8)8，10，7，9->(iTemp=7)8，10，7，9->(iTemp=7)7，10，8，9(交换1次)
　　第二轮：7，10，8，9->(iTemp=8)7，10，8，9->(iTemp=8)7，8，10，9(交换1次)
　　第一轮：7，8，10，9->(iTemp=9)7，8，9，10(交换1次)
　　循环次数：6次
　　交换次数：3次
　　遗憾的是算法需要的循环次数依然是1/2*(n-1)*n。所以算法复杂度为O(n*n)。
　　我们来看他的交换。由于每次外层循环只产生一次交换（只有一个最小值）。所以f(n)<=n
　　所以我们有f(n)=O(n)。所以，在数据较乱的时候，可以减少一定的交换次数。
4.插入法：
　　插入法较为复杂，它的基本工作原理是抽出牌，在前面的牌中寻找相应的位置插入，然后继续下一张
　　#include <iostream.h>
　　void InsertSort(int* pData，int Count)
　　{
　　int iTemp;
　　int iPos;
　　for(int i=1;i<Count;i++)
　　{
　　iTemp = pData[i]; //保存要插入的数
　　iPos = i-1; //被插入的数组数字个数
　　while((iPos>=0) && (iTemp9，10，8，7(交换1次)(循环1次)
　　第二轮：9，10，8，7->8，9，10，7(交换1次)(循环2次)
　　第一轮：8，9，10，7->7，8，9，10(交换1次)(循环3次)
　　循环次数：6次
　　交换次数：3次
　　其他：
　　第一轮：8，10，7，9->8，10，7，9(交换0次)(循环1次)
　　第二轮：8，10，7，9->7，8，10，9(交换1次)(循环2次)
　　第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10(交换1次)(循环1次)
　　循环次数：4次
　　交换次数：2次
　　上面结尾的行为分析事实上造成了一种假象，让我们认为这种算法是简单算法中最好的，其实不是，
　　因为其循环次数虽然并不固定，我们仍可以使用O方法。从上面的结果可以看出，循环的次数f(n)<=
　　1/2*n*(n-1)<=1/2*n*n。所以其复杂度仍为O(n*n)（这里说明一下，其实如果不是为了展示这些简单
　　排序的不同，交换次数仍然可以这样推导）。现在看交换，从外观上看，交换次数是O(n)（推导类似
　　选择法），但我们每次要进行与内层循环相同次数的‘=’操作。正常的一次交换我们需要三次‘=’
　　而这里显然多了一些，所以我们浪费了时间。
　　最终，我个人认为，在简单排序算法中，选择法是最好的。
二、高级排序算法
　　高级排序算法中我们将只介绍这一种，同时也是目前我所知道（我看过的资料中）的最快的。
　　它的工作看起来仍然象一个二叉树。首先我们选择一个中间值middle程序中我们使用数组中间值，然后
　　把比它小的放在左边，大的放在右边（具体的实现是从两边找，找到一对后交换）。然后对两边分别使
　　用这个过程（最容易的方法——递归）。
　　1.快速排序：
　　#include <iostream.h>
　　void run(int* pData，int left，int right)
　　{
　　int i，j;
　　int middle，iTemp;
　　i = left;
　　j = right;
　　middle = pData[left];
　　do{
　　while((pData[i]<middle) && (i<right))//从左扫描大于中值的数
　　i++;　
　　while((pData[j]>middle) && (j>left))//从右扫描大于中值的数
　　j--;
　　if(i<=j)//找到了一对值
　　{
　　//交换
　　iTemp = pData[i];
　　pData[i] = pData[j];
　　pData[j] = iTemp;
　　i++;
　　j--;
　　}
　　}while(i<=j);//如果两边扫描的下标交错，就停止（完成一次）
　　//当左边部分有值(left<j)，递归左半边
　　if(left<j)
　　run(pData，left，j);
　　//当右边部分有值(right>i)，递归右半边
　　if(right>i)
　　run(pData，i，right);
　　}
　　void QuickSort(int* pData，int Count)
　　{
　　run(pData，0，Count-1);
　　}
　　void main()
　　{
　　int data[] = {10，9，8，7，6，5，4};
　　QuickSort(data，7);
　　for (int i=0;i<7;i++)
　　cout<<data<<" ";
　　cout<<"\n";
　　}
　　这里我没有给出行为的分析，因为这个很简单，我们直接来分析算法：首先我们考虑最理想的情况
　　1.数组的大小是2的幂，这样分下去始终可以被2整除。假设为2的k次方，即k=log2(n)。
　　2.每次我们选择的值刚好是中间值，这样，数组才可以被等分。
　　第一层递归，循环n次，第二层循环2*(n/2)......
　　所以共有n+2(n/2)+4(n/4)+...+n*(n/n) = n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n
　　所以算法复杂度为O(log2(n)*n)
　　其他的情况只会比这种情况差，最差的情况是每次选择到的middle都是最小值或最大值，那么他将变
　　成交换法（由于使用了递归，情况更糟）。但是你认为这种情况发生的几率有多大？？呵呵，你完全
　　不必担心这个问题。实践证明，大多数的情况，快速排序总是最好的。
　　如果你担心这个问题，你可以使用堆排序，这是一种稳定的O(log2(n)*n)算法，但是通常情况下速度要慢