Question

大学高数证明题

设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界，证明f(x,y)在点(x0,y0)连续。
你不是证了它小于等于一个M么？

Answer 1

用单变元的微分中值定理做估计。
|f(x，y)－f(x0，y0)|<=|f(x，y)－f(x，y0)|+|f(x，y0)－f(x0，y0)|
＝|af/ay(x，b)*(y－y0)|+|af/ax(c，y0)*(x－x0)|
<=M|y－y0|+M|x－x0|，
其中M是偏导数的界。af/ax af/ay是f对x y的偏导数。因此连续。
满足连续的定义：当(x，y)趋于(x0，y0)时，|f(x，y)－f(x0，y0)|趋于0就是连续。
你好好看看得到的不等式：|f(x，y)－f(x0，y0)|<=M(|y－y0|+|x－x0|)，不等式右边是趋于0的。