Question

一个n阶行列式，主对角线上的元素都是x主对角线以上的元素都是a,主对角线以下的元素都是-a，求次行列式.

x a a a......a
-a x a a......a
-a -a x a......a
............................
-a -a -a -a......x

Answer 1

解：第1行乘以(-1)，依次加到第2、3、……、n行，得
x a a a ...... a a
-a-x x-a 0 0 ...... 0 0
-a-x -2a x-a 0 ...... 0 0
-a-x -2a -2a x-a ...... 0 0
..................................................
-a-x -2a -2a -2a ...... x-a 0
-a-x -2a -2a -2a ...... -2a x-a

再用第2行乘以(-1)，依次加到第3、4、……、n行，得
x a a a ...... a a
-a-x x-a 0 0 ...... 0 0
0 -a-x x-a 0 ...... 0 0
0 -a-x -2a x-a ...... 0 0
..................................................
0 -a-x -2a -2a ...... x-a 0
0 -a-x -2a -2a ...... -2a x-a

再用第3行乘以(-1)，依次加到第4、5、……、n行，得
x a a a ...... a a
-a-x x-a 0 0 ...... 0 0
0 -a-x x-a 0 ...... 0 0
0 0 -a-x x-a ...... 0 0
..................................................
0 0 -a-x -2a ...... x-a 0
0 0 -a-x -2a ...... -2a x-a

继续这样变换，直至将第n-1行乘以(-1)加到第n行，最后得到
x a a a ...... a a
-a-x x-a 0 0 ...... 0 0
0 -a-x x-a 0 ...... 0 0
0 0 -a-x x-a ...... 0 0
..................................................
0 0 0 0 ...... x-a 0
0 0 0 0 ...... a-x x-a

按第一行展开，得
原行列式=x * [(x-a)^(n-1)]
- a * (-a-x) * [(x-a)^(n-2)]
+ a * [(-a-x)^2] * [(x-a)^(n-3)]
- a * [(-a-x)^3] * [(x-a)^(n-4)]
+ .............
+ (-1)^(n-1) * a * [(-a-x)^(n-1)]

＝ x * [(x-a)^(n-1)]
+ a * (x+a) * [(x-a)^(n-2)]
+ a * [(x+a)^2] * [(x-a)^(n-3)]
+ a * [(x+a)^3] * [(x-a)^(n-4)]
+ .............
+ a * [(x+a)^(n-1)]

追问

"+ (-1)^(n-1) * a * [(-a-x)^(n-1)] ”^(n-1)好像有问题,答案也不对，我记得答案好像是1/2[(x-a)^n+(x+a)^n],求过程，谢谢。

追答

详见插图

追问

图片太小了，我点击图片看了大图，还是看不清。

追答

不会啊，要不你直接输入下面网址，我看过很清晰才上传的：
http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e850352a63e7d4bf5243c127.jpg

Answer 2

aaaaaaaaa