Question

微分方程线性与非线性问题

看过网上的资料有的说y=sin(x)y"是线性函数，y=sin(y)y"不是，但是三角函数不是是非线性函数吗？为什么到了微分方程又是线性？？真心想知道，希望大家说得全面又通俗，不要太多术语，谢谢！！！

Answer 1

你得知道不同情况下说的线性指的是对谁而言是线性的。
所谓的线性微分方程，指的是对函数y而言是线性的，也就是若y1，y2是两个解，则y1+y2也是解，
ay1（其中a是任意实数）也是解，因此按照这个定义代入第一个微分方程就会知道是线性微分方程。第二个不是线性微分方程。
线性微分方程与涉及到的函数是否是线性函数没有关系。

追问

怎么代入法？代入哪里，还是不是太明白。。

追答

代入第一个方程：y1=sin(x)y1''
y2=sin(x)y2'' 两式相加得
因此 y1+y2＝sin(x)(y1+y2)''
故y1+y2是解。

追问

那这个和线性有什么关系？

追答

这就是线性的定义。线性就是这么定义的：y1和y2是满足性质的两个东西，则y1+y2，ay1也是满足性质的两个东西，其中a是任意实数，那么这个性质就满足线性。

Answer 2

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