Question

问大家一个很难的九年级函数和图形高难度几何题，高手来啊~

如图所示，矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，使点O为坐标原点，边OA，OC分别落在X轴、Y轴的正半轴上，且OA=5，OC=3，将矩形纸片折叠，使点O落在线段CB上，设落点为P，折痕为EF.

在折叠中，点P在线段CB上运动，设CP=x（0≤x≤5），过点P做PT平行y轴交折痕EF于点T，设点T的纵坐标为y，请用x表示y，并判断点T运动形成什么样的图像

要求有详细步骤，感激不尽！！

Answer 1

设CE=a
∵△EPF为△EOF折叠所成
∴△EPF≌△EOF 先得出a与x的关系，再求a于y的关系，从而总结出xy关系
∴EP=EO
又∵△ECP为RT△
∴CE^2+CP^2=EP^2=EO^2=（CO-EO）^2
即a^2+x^2=(3-a)^2

从T向CO、EP作垂线，分别交于M、N
∵CMTP为矩形
∴MT=CP=X

∵△EOF≌△EPF
∴∠OEF=∠PEF
又∵∠EMT=∠ENT=90°
且ET为公共边
∴△EMT≌△ENT
∴MT=NT=X

从P向AO作垂线，交与Q，得TQ=Y
S矩形COQP=CP*CO=S△CEP+S△EPT+S矩形EOQP
即x*3=a*½+(3-a)*x*½+(3-a-y)*x*½ 得出ay关系
得 y=a
又∵a^2+x^2=(3-a)^2
∴y=1.5-1/6x^2 从而得出xy关系

可见，y为x的一元二次函数，所以T的运动轨迹为抛物线

Answer 2

连接OP,延长PT交OA于K点
可知OP垂直平分EF,PK=3,OT=PT=3-y
在直角三角形OKT中,有OK平方+TK平方=OT平方,即得x^2+y^2=(3-y)^2,解得 y = 3/2-(x^2)/6
因y大于等于0,所以x大于0且小于等于3
因y为x的一元二次函数，所以T的运动轨迹为抛物线
(注:做几何题一定要作好图,本题作图顺序是连接OP,再作其垂直平分线交OC于E点,交OA于F点)

Answer 3

设t(m,n),则p(m,3) ，直线OP方程 y= 3x/m ,设OP中点为K， 则K(m/2,3/2)
o,p关于EF对称，所以 AE垂直OP，其斜率为 -m/3
直线AE(AK)方程 y-3/2=(-m/3)(x- m/2) 得 y =(-m/3)(x- m/2) +3/2
令x = m 则P的纵坐标n = (-m/3)(m-m/2)+3/2= -m^2/6+3/2
所以其图像为 y = -x^2/6+3/2 （0≤x≤5）
多给点分吧，写得这么辛苦。

Answer 4

只能看高手回答了……