Question

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求上半球0≤Z≤ 根号下a^2-x^2-y^2 与圆柱体x^2+y^2≤ ax(a>0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影。

Answer 1

【分析】设Γ是一条空间曲线，Π是一张平面，对于Γ上任意一点P，令Π（P）是点P在平面Π上的投影点，即Π（P）∈Π，向量Π（P）P⊥Π。所有投影点的集合称为Γ在平面Π上的投影曲线。

解：（1）两曲面在xoy面上的投影等于：消去两曲面表达式中的z，得到的表达式：
此题中两曲面分别为：z=√(a^2-x^2-y^2)，x^2 y^2=ax，
消去z，（即把两曲线方程化为只有x，y的表达式），得：x^2 y^2=ax^2 (a>0)

（2）两曲面在xoz面上的投影等于：消去两曲面表达式中的y，得到的表达式：
此题中两曲面分别为：z=√(a^2-x^2-y^2)，x^2 y^2=ax，
消去y，（即把两曲线方程化为只有x，z的表达式），得：z^2 ax=a^2 (z≥0，a>0)

Answer 2

联立z=根号下a^2-x^2-y^2 和x^2+y^2≤ ax
很明显在xOy面上的投影就是x^2+y^2≤ ax
求zOx面上的投影时，因zOx坐标面上无y，那么就消方程组中的z
得zOx面上的投影为a^2-z^2=ax（z≥0）