Question

设集合A={x|4^x-2^(x+2)+a=0}若A中仅有一元素,求实数a的取值集合B

Answer 1

集合A只有一个元素，就是关于x的方程4^x-2^(x+2)+a=0只有一解。 原方程化为：(2^x)^2-4*2^x+a=0 配方：(2^x-2)^2=4-a (1)如果4-a＜0,即a＞4,方程根本无解，是不适合的； (2)如果4-a=0,即a=4,方程化为：(2^x-2)^2=0,解得：x=1,适合！ (3)如果4-a＞0,即a＜4,方程可以解得：2^x=2±√(4-a), 因为2^x＞0，要求只有一个解，必须是右边2-√(4-a)≤0， 4≤4-a，解得：a≤0，与a＜4求交集，仍然是a≤0 此时仅有一个解：x=log2[2+√(4-a)] (前面一个2是底数！) 综上所述，a的取值集合B={a|a≤0,或者a=4}

Answer 2

令 2^x=t ，则 t>0 。集合A=｛x|t^2-4t+a=0｝。
因为A仅有一个元素，因此，二次方程 t^2-4t+a=0 仅有一个正根，
设 f(t)=t^2-4t+a=(t-2)^2+a-4 ，则 抛物线对称轴 t=2 ，
所以 a-4=0 或 f(0)<0 ，
则 a=4 或 a<=0 。
因此B=｛a|a<=0 或 a=4｝。