Question

已知函数f(x)的定义域为R，对于任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)

且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2,试判断f(x)在[-3，3）上是否有最大值和最小值？ 如果有，求出最大值和最小值，如果没有，说明理由。

Answer 1

令a=0 ，b=0 则 f(0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=0
令a+b=0 则 f(0)=f(a)+f(-a) 得f(a)=-f(-a) f（x）为奇函数
令x1>x2>0 则 f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0 得f(x1)<f(x2)
当x>0 时 f（x）为减函数 又因为f（x）为奇函数 所以当x∈R时，它都为减函数。当x=-3时取最大值f（-3)=-f(3)=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6 无最小值

Answer 2

首先令a=b=0，由f(a+b)=f(a)+f(b)得f(0)=0
再设a，b为相反数，可以得出f(x)是奇函数
在定义域上任取x1>x2>0,
则f(x1）-f（x2）=f(x1）+f（-x2）=f（x1-x2）<0(当x＞0时，f(x)＜0)
所以函数是单调递减的
剩下的就不用说了吧，留给你自己思考
最大值是f(-3)=6，最小是f(3)，但是3没有定义，所以没有最小值，

Answer 3

b25