Question

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点P为圆O:x的平方加y的平方等于4上一动点，PD垂直于x轴于D点，记线端PD的中点M的运动轨迹为曲线C.
求曲线C的方程；直线l经过定点(0,2),且与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值。
详细过程啊啊！

Answer 1

解析：∵点P为圆O：x^2+y^2=4上一动点，PD⊥x轴于D，M为PD中点
设M(x,y)，则P(x,2y)
∴x^2+(2y)^2=4
∴M的运动轨迹曲线C为x^2/4+y^2=1==>椭圆
∵直线l与曲线C交于A，B两点，与X轴交于D
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
三角形OAB面积=1/2*|OD|*|y1-y2|
|OD|=|-2/k|
|y1-y2|=k|x1-x2|
将直线l代入曲线C得(1+4k^2)x^2+16kx+12=0
|x1-x2|=√(64k^2-48) /滑信(1+4k^2)=4√(4k^2-3)/(1+4k^2)
|y1-y2|=4k√(4k^2-3)/(1+4k^2)
三角形OAB面积=1/2*|OD|*|y1-y2|
=1/2*2/k*4k√(4k^2-3)/(1+4k^2)=4√(4k^2-3)/(1+4k^2)
设函数f(x)= 4√(4x^2-3)/(1+4x^2), 其定信携轮义域为(-∞,-√3/2) U(√3/隐轿2,+∞)
令f’(x)= [(4√(4x^2-3))’(1+4x^2)-4√(4x^2-3)(1+4x^2)’]/(1+4x^2)^2
= [16x(1+4x^2)/√(4x^2-3)-32x√(4x^2-3)]/(1+4x^2)^2
= 16x[(1+4x^2)-2(4x^2-3)]/√(4x^2-3)/(1+4x^2)^2
令16x[(1+4x^2)-2(4x^2-3)]=16x(7-4x^2)=0
∴x=±√7/2
即当k=±√7/2时，三角形OAB面积最大为f(±√7/2)=1

Answer 2

点P为圆O:x的平方加y的平方等于4上物手一动点，PD垂直于x轴于D点，记线端PD的中世蔽点M的运动轨迹为曲线C.，求曲线C的方程；直线l经过定点(0,2),且与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值。
(1)解析：∵点P为圆O：x^2+y^2=4上一动点，PD⊥x轴于D，M为PD中点
设M(x,y)，则P(x,2y)
∴x^2+(2y)^2=4
∴M的运动轨迹曲线C为x^2/4+y^2=1==>椭圆；
(2)解析：设过定点(0,2)直线l为：y=kx+2==>y^2=k^2x^2+4kx+4
∵直线l与曲线C交于A，B两点，与X轴交于D
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
三角形OAB面积=1/2*|OD|*|y1-y2|
|OD|=|-2/k|
|y1-y2|=k|x1-x2|
将直线l代入曲线C得(1+4k^2)x^2+16kx+12=0
|x1-x2|=√(64k^2-48) /(1+4k^2)=4√(4k^2-3)/(1+4k^2)
|y1-y2|=4k√(4k^2-3)/(1+4k^2)
三角形OAB面积=1/2*|OD|*|y1-y2|
=1/2*2/k*4k√(4k^2-3)/(1+4k^2)=4√(4k^2-3)/(1+4k^2)
设函数f(x)= 4√(4x^2-3)/(1+4x^2), 其定义域为(-∞,-√3/2) U(√3/2,+∞)
令f’(x)= [(4√(4x^2-3))’(1+4x^2)-4√(4x^2-3)(1+4x^2)’]/(1+4x^2)^2
= [16x(1+4x^2)/√(4x^2-3)-32x√(4x^2-3)]/(1+4x^2)^2
= 16x[(1+4x^2)-2(4x^2-3)]/√(4x^2-3)/(1+4x^2)^2
令16x[(1+4x^2)-2(4x^2-3)]=16x(7-4x^2)=0
∴x=±√7/2
即当k=±√7/2时，三角形OAB面积最大为f(±√罩返嫌7/2)=1

Answer 3

设M点坐没顷丛标为（x,y）枯樱则P点坐标为（x,2y）.因为P点在圆O上，乎耐所以x^2+(2y)^2=4所以曲线C的方程为x^2+4y^2=4

Answer 4

解：(1)设P(x0，y0）M(x,y)，升誉则x0=x,y0=2y,又因为x0^2+y0^2=4,代入可得x^2+4y^2=4
所以曲线C的方程为巧扮x^2/4+y^2=1
(2)设P(0,2)
设直线l的方程吵宽段为y=kx+2，联立直线方程和椭圆方程得
(1+4k^2)x^2+16kx+12=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-16kx/(1+4k^2),x1*x2=12/(1+4k^2)
S=(1/2)|OP|*|x1-x2|=|x1-x2|=根号下（(64k^2-48)/(1+4k^2)^2
令t=1/(1+4k^2)
得当t=1/8时取最大值1，再计算一下此时k的值

Answer 5

建议用向量法，面积=向量OA与向量OB的混合积的一半

Answer 6

对于这么难的题，表示严正抗议与谴责。