Question

直线的方程几种形式教案

Answer 1

教案一：
教学目标
　　（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．
　　（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．
　　（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．
　　（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力．
　　（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．
　　（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构
　　由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式．
（2）重点、难点分析
　　①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程．
　　解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用．
　　直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习．
　　②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明．

2．教法建议
　　（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．
　　（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础．
　　直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点
　　（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．
　　（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮．
　　求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程．
　　（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）．
　　（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力．
　　（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力．
　　（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上．

教学设计示例
直线方程的一般形式
教学目标：
　　（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．
　　（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明
　　（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．
教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程AX+BY+C=0（A、B不同时为0）的对应关系及其证明．
教学用具：计算机
教学方法：启发引导法，讨论法
教学过程：
　　下面给出教学实施过程设计的简要思路：
教学设计思路：
（一）引入的设计
　　前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：
　　问：说出过点 （2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？
　　答：直线方程是 ，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．
肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：
　　问：求出过点 ， 的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？
　　答：直线方程是 （或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．
　　肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．
　　启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．
　　学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：
　　【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”
（二）本节主体内容教学的设计
　　这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．
　　学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．
　　经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：
思路一：…
思路二：…

教案二：
直线方程的教学设计
高俊玲
1． 教材分析
1． 1 教材的地位与作用
直线的方程是高二解析几何的基础知识，是培养学生几何学习能力的好的开端。本章内容开始从代数的角度去研究平面的点线关系，是一个新的领域。对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，影响着对后来学习圆锥曲线的理解。所以，直线部分的学习起到良好的过渡作用。
1． 2 教学的重点与难点
本节教学重点是直线的五种方程的形式。
教学难点按环节的推导过程。
2．教学目标分析
2．1知识与技能
使学生会推导直线的方程。并掌握方程表示的基本量，以及各种表达形式的优势和局限性。
2．2过程与方法
体验方程的逐步推导过程，理解各形式之间的内在的实质的联系。体验数学研究与发展的规律。知其所以然。
2．3情感态度与价值观
鼓励学生大胆推导，引领学生体会发现的过程。增加对本知识的认识，以期达到提高浓厚学习兴趣，掌握知识的目的。
3 学情分析
3．1学生学习本课内容的基础
在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，来推导方程的基本形式。
3．2学生学习本课内容的能力
具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。
3．3学生学习本课内容的心理
直线的方程是高中几何学的开端，学生容易接受且充满好奇与兴趣。方程推导环环相扣，具有一定的整体性，极易使学生在学习的过程中，增加求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。
3．4学法分析
学生刚刚学习完直线的倾斜角与斜率的概念，对此知识的深刻理解和严谨性的把握上还可能考虑不周全。用代数思想去研究几何问题这一新的思想方法的体系还没有完整的形成。但知识内部联系性非常大，在学习过程中难点很容易突破，采用自学加点拨的方式，在合作中培养学生的探究意识和数学思维。
4． 教学过程设计
4．1提出问题串，创设学习情景
问题1 根据动画，如何可以把一条直线固定下来，需要几个量？
问题2 根据上节课的斜率公式，可否把直线上具有代表意义的点（x，y）与已知点（x0，y0）用斜率表示出来？
问题3 从严格方面说，这个式子有几点需要说明？
追问1 （x，y）与已知点（x0，y0）首先可以重合吗？
追问2 如果不能重合，我们所得到的式子，是否遗漏了这个定点？
追问3 由上节课斜率的注意事项，你想到了什么？
追问4 用到的基本量是一点一斜率，通过预习，这个形式应该称之为直线方程的何种形式？
问题4 如果直线过的定点特殊为（0，b），会得到什么化简形式？
追问1 什么叫直线的纵截距？
追问2 直线的纵截距可以是负数和零吗？
问题5 由问题1的另一答案，两点也可以确定一条直线，那么如果已知一直线通过两个定点分别为（x1，y1）（x2，y2），可以写出直线方程吗？根据是什么？
追问1 对这两个点难道就没有要求吗？
追问2 这个写出的方程如何找到记忆的规律？
追问3 这个方程的局限在哪里？
问题6 由问题5大家得到的结论，如果直线过的定点特殊为（a，0），（0，b）
（a≠0，b≠0）直线方程可以化简为何形式？
追问1 这个叫直线方程的什么形式？
追问2 什么叫直线的横截距？
追问3 这个方程从推导过程上有何局限？即不能表示什么直线？
4．2 引导思考，自主探究
在问题6中，由于情况很多，有教师给予适当的指导，引领学生进行思考，开展讨论与研究。可以具体设计如下：
S1：把两点代入直线方程的两点式：
可得：
S2： 可以化简为：
S3：这个形式叫直线方程的截距式。局限同两点式相同：
不可以表示与x轴垂直和与y轴垂直的直线。
T1：可以表示过原点的直线吗？
T2：过原点的直线是否有截距？是否有截距式方程？
展开讨论后，对此结论更为注意。并对练习册上相应的题目给予适当的补充练习以加强印象。
4．3 反思结论，归纳总结
直线方程的点斜式：
局限：不能表示与x轴垂直的直线
直线方程的斜截式：y=kx+b
局限：不能表示与x轴垂直的直线
4．4题组练习 (略)
5．教学设计说明
高中数学新课程理念之一是倡导积极主动，勇于探索的学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生学习过程成为教师引导下的再创造过程。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。建构主义学习理论认为，数学知识应以各种有待探索的问题形式与学生的经验世界发生联系和作用。本课的设计的基本理念正是在教师的指导下，创设数学学习情境，让学生自主探究直线方程的不同形式及局限性，使他们能积极主动地参与到数学学习活动中来。

Answer 2

直线的一般式方程与其他四种形式之间的转化