Question

已知数列{an}的前项和为Sn,若Sn=2an+n,且bn=an-1/an*an+1 （1）求证：{an-1}为等比数列 （2）...

已知数列{an}的前项和为Sn,若Sn=2an+n,且bn=an-1/an*an+1
（1）求证：{an-1}为等比数列 （2）求数列{bn}的前n项和

Answer 1

（1）Sn-Sn-1=2an+n-(2a(n-1)+n-1) an=2an-2a(n-1)+1 an-2a(n-1)+1=0 an-1=2(a(n-1)-1) an-1/a(n-1)-1=2 所以an-1为等比数列 q=2
(2)Sn=2an+n a1=2a1+1 a1=-1 a1+a2=2a2+2 a2=-3 a2-1/a1-1=-4/-2=2 符合an-1为等比数列 n从1开始 an-1=a1*q^n=(-1)2^n (ps：是bn=a(n-1)/an*a(n+1)吧 n-1和n和n+1都是下标）
bn=(-1/2)^(n+2) b1为奇数项 对比第一项与第二项 第三项与第四项...... 可知奇数项绝对值之和是偶数项的2倍 可先去掉负号 求和 所得结果除以3再添一个负号即为所求 先求Cn=(1/2)^(n+2)之和 C1=1/8 Sn=C1*[1-(1/2)^n]/[1-(1/2)]=1/4-(1/2)^(n+2)
所求bn前n项和Sbn=[(1/2)^(n+2)-1/4]/3
可能有错 仅当参考

Answer 2

1、
S[n-1]=2a[n-1]+n-1
an=Sn-S[n-1]=2an+n-2a[n-1]-n+1=2an-2a[n-1]+1
an=2a[n-1]-1
an-1=2a[n-1]-2
{an-1}/{a[n-1]-1}=2，为等比数列

a1=s1=2a1+1
所以a1=-1
an-1=a1*2^(n-1)=-2^(n-1)
an=1-2^(n-1)

2、
1/an-1/a[n+1]=(a[n+1]-an)/an*a[n+1]
=(2an-1-an)/an*a[n+1]
=(an-1)/an*a[n+1]
=2a[n-1]/an*a[n+1]
=2bn

所以：
2Sbn=1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+....-1/a[n+1]
=1/a1-1/a[n+1]
=-1-1/(1-2^n)
Sbn=-1/2-1/2(1-2^n)

Answer 3

解：
（1）令S(n+1)-Sn=A(n+1)=2A(n+1)+n+1-2An-n=2A(n+1)-2An+1
得到：2An-1=A(n+1)，两边同减1得：2(An-1)=A(n+1)-1，有2=[A(n+1)-1]/(An-1)
令Cn=An-1 则C(n+1)/Cn=[A(n+1)-1]/(An-1)=2
所以Cn为等比数列。
（2）A1=S1=2A1+1，解得A1=-1
C1=A1-1=-2，则Cn=(-2)×2^(n-1)=-2^n，则An=Cn+1=-2^n+1
Bn=(-2^n)/{(-2^n+1)[-2^(n+1)+1]}

Answer 4

（1）
a1=s1=2a1+1 =>a1=-1
a(n+1)=S(n+1)-Sn=2a(n+1)-2an+1
a(n+1)-1=2(an-1)
所以｛an-1｝是以a1-1=-2为首项，2为公比的等比数列
（2）
an-1=-2*2^(n-1)=-2^n =>an=1-2^n
bn=an-1/an*an+1 ??
不清楚

Answer 5

an=Sn-Sn-1=2an+n-{2a(n-1)-(n-1)}=2an-2a(n-1)+1,，得
(an-1)=2{a(n-1)-1}所以｛an-1｝是以-1为首项，2为公比的等比数列