拉格朗日定理证明的过程
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你可以自己查书，看书上的证法，下面我给你一个与书上不同的辅助函数构造法。
设f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，求证：存在ξ∈(a,b)，使f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a)。
证：构造F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)
显然F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导
F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=af(b)-bf(a)
F(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=af(b)-bf(a)
则F(a)=F(b)
因此，由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使F'(ξ)=0
由F'(x)=[f(b)-f(a)]-f '(x)(b-a)，则 [f(b)-f(a)]-f '(ξ)(b-a)=0
即 f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a)
设f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，求证：存在ξ∈(a,b)，使f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a)。
证：构造F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)
显然F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导
F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=af(b)-bf(a)
F(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=af(b)-bf(a)
则F(a)=F(b)
因此，由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使F'(ξ)=0
由F'(x)=[f(b)-f(a)]-f '(x)(b-a)，则 [f(b)-f(a)]-f '(ξ)(b-a)=0
即 f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a)
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