Question

数列求和 1,1+2,1+2+3，...1+2+3+4+...+n 的前n项和Sn

Answer 1

令bn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2=1/2[n^2+n],
则Sn=b1+b2+...+bn
=1/2[(1^2+1)+(2^2+2)+...+(n^2+n)]
=1/2[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)]
=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]
= n(n+1)(n+2)/6.
其中1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
1+2+...+n=n(n+1)/2， 这两个公式要记住的，这里用到的是数列求和中的‘分组求和法’

Answer 2

每一项都是等差数列求和。第n项是n(n+1)/2，展开后可以看作完全平方数列与等差数列，然后再求和。
现将分母变形(1＋2＋3＋…＋n)
变成n(n+1)/2
那么原来的式子=2/(1*2)+2/(2*3)+……+2/n(n+1)列项可得=2*（1-1/n+1)=2n/(n+1)

Answer 3

用第一项与最后一项相加=（n+1) 用第二项与倒数第二项相加=（n+1）等等 总共有2/n个（n+1） 所以Sn=n(n+1)/2

Answer 4

通项为an=n*(n+1)/2
想快的话可以用abel分部求和的有限形式
不了解abel的话。。。。。。可用分组求和