Question

急求一2010河北中考数学题，数学高手进，帮忙解释一下，谢谢

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y = 2t ；（2）当BP = 1时，有两种情形：

①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB =  = 4，MP = MQ = 3，

∴PQ = 6．连接EM，

∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴ ．

∵AB =  ，∴点E在AD上．

∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面

积为 ． 

②若点P从点B向点M运动，由题意得  ．

PQ = BM + MQ BP = 8，PC = 7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的

延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则

HP =  ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°， 

∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，

∴点G与点D重合，如图7．此时△EPQ与梯形ABCD

   的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 ．

（3）能．4≤t≤5．

追问

最后一问能解释一下吗？

追答

t=4时，P与B重合，Q与C重合，此时等边△EPQ，边长最大，覆盖AG最长。
PQ=BE=8,在△EPQ中利用勾股定理求出EM=4√3，EF=EM-FM=EM-AB=√3。
△EMC中，FK：MC=EF：EM，可知，FK=1，
又 FG=AG-AF=AG-BM=6-4=2，可知KG=1，
从t=4开始，P与Q同时向右移动，即等边△EPQ向右平移，当t=5时，QE到达点G。
故：4≤t≤5时，AG被覆盖线段的长度最长。

Answer 2

25．解：（1）y = 2t；
（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，
∴PQ = 6．连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴ ．
∵AB = ，∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面
积为 ．
②若点P从点B向点M运动，由题意得 ．
PQ = BM + MQ BP = 8，PC = 7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的
延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则
HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，
∴点G与点D重合，如图7．此时△EPQ与梯形ABCD
的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 ．
（3）能．
4≤t≤5．
你先看看，哪里不明白就问哪里

追问

最后一问能解释一下吗？

追答

你把P到达B点和Q到达C点时的等边三角形画好，注意此时该三角形的高是4√3，大于3√3
所以在AD上面的部分也是一个小的等边三角形，其高是√3，可求底边是2，这个2的底边整体都在AD内部，距离D点为1，按此思路可解4≤t≤5．