Question

已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC。

Answer 1

连结BD，过C作CE⊥BD交BD于E。
∵∠BAD＝60°、∠BAC＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAD/2＝30°。
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴A、B、C、D共圆，∴∠CBD＝∠CAD＝30°。
∵CE⊥BE，∴由锐角三角函数定义，有：BE/BC＝cos∠CBD＝cos30°＝√3/2。
∵A、B、C、D共圆，又∠BAC＝∠CAD，∴BC＝CD，而CE⊥BE，∴BE＝BD/2。
∴（BD/2）/BC＝√3/2，∴BD/BC＝√3。

∵ABCD是圆内接四边形，∴由托勒密定理，有：AB×CD＋AD×BC＝AC×BD，
而BC＝CD，∴（AB＋AD）BC＝AC×BD，∴AB＋AD＝AC×（BD/BC）＝√3AC。
即：AB＋AD＝√3AC。