Question

高一数学正余弦定理 在三角形ABC中，已知AB= 4,AC=7,BC边的中线AD=7/2，那么BC=？详细过程！

Answer 1

延长AD至E，使得AD=DE，则四边形ABEC是平行四边形。则：
AE²=AB²＋BE²－2×AB×BE×cos∠ABE=AB²＋AC²＋2×AB×AC×cos∠A
BC²=AB²＋AC²－2×AB×AC×cos∠A
两市相加，得：
AE²＋BC²=2(AB²＋AC²)
本题中，AE=2AD=7，AB=4，AC=7，代入，得：BC²=81，则：BC=9

Answer 2

令BC=a
三角形ABC中
cosB=(AB^2+a^2-AC^2)/2a*AB
=(a^2-33)/8a
三角形ABD中
cosB=(AB^2+BD^2-AD^2)/(2*AB*BD)
BD=BC/2=a/2
cosB=(15/4+a^2/4)/4a
(a^2-33)/8a=(15/4+a^2/4)/4a
(a^2-33)/2=15/4+a^2/4
2a^2-66=15+a^2
a^2=81
BC=a=9

Answer 3

设中线和BC边的一夹角为θ，则互补的角为π-θ，且设BD=DC=a,则BC=2a,则在三角形ABD中,
由余弦定理得cosθ=[a^2+(7/2)^2-16]/2*(7/2)*a
同理在三角形ACD中，由余弦定理得cos(π-θ)=-cosθ=[a^2+(7/2)^2-49/2*(7/2)*a
所以由上面两式得a=9/2,则BC=9

Answer 4

设BC为x ιADC为α在ΔADC中用余弦表示AC 在ΔADB中用余弦表示BA 两个式子两个未知数,好解!