Question

一道超难的初中数学题。

已知：四边形EAFH是正方形，四边形AGCD是正方形，AQ垂直于EG，AP垂直于FD
求证：EG:FD等于AQ:AP （EAD 和GAF三个点不再一条直线上）

如果过程或图片不好弄到答案上，可以发到lzyatt2012@163.com .

Answer 1

因为∠EAG=180°－∠DAF
则：sin∠EAG=sin(180°－∠DAF)=sin∠DAF
又：AE=AG，AF=AD
则三角形EAG的面积S1=(1/2)×AE×AG×sin∠EAG
三角形AFD的面积S2=(1/2)×AF×AD×sin∠DAF
则这两个三角形面积相等，又：S1=(1/2)×EG×AQ，S2=(1/2)×DF×AP
则：EG×AQ=DF×AP，即EG：DF=AP：AQ
若a＋b=180°，即：a=180°－b，则：
sina=sin(180°－b)=sinb
【三角诱导公式】
AE=AF，AQ=AD
诱导公式指的是【不同的角】的【同一个三角函数】的值之间的关系。
如：
sin(90°－a)=cosa，cos(90°－a)=sina
sin(90°＋a)=cosa，cos(90°＋a)=－sina
sin(180°＋a)=－sina，cos(180°－a)=－cosa
等等。
诱导公式有很多组，可以简记为：90°±a、±a、180°±a、270°±a、360°±a、k×360°±a等等

因为EAFH是正方形，AGCD为正方形，
所以AF=EA,AG=AD，
又因为∠GAD=∠EAF=90°，
所以∠FAD=∠EAG=90°
所以△EAG全等△FAD，
也就是△EAG的面积=△FAD的面积
因为AQ垂直于EG，AP垂直于FD
所以1/2AQ*EG=1/2AP*FD
所以AQ*EG=AP*FD
把AQ和AP换一下
就是EG*AP=AQ*FD
比一下发现EG/FD=AQ/AP
所以EG:FD等于AQ:AP

【原结论有误,应该是EG:FD=AP:AQ.】
证明:作GM⊥AE于M,DN⊥FA的延长线于N.
∵∠MAN=∠GAD=90°.
∴∠MAG=∠NAD;又AG=AD,∠AMG=∠AND=90°.
∴⊿GMA≌⊿DNA(AAS),GM=DN.
又AE=AF,则AE*GM=AF*DN,AE*GM/2=AF*DN/2,即S⊿AEG=S⊿AFD;
AQ⊥EG,AP⊥FD,则S⊿AEG=EG*AQ/2, S⊿AFD=FD*AP/2.
∴EG*AQ/2=FD*AP/2.(等量代换)
故EG*AQ=FD*AP,得EG:FD=AP:AQ.

Answer 2

过E作EM∥AG，截取EM=AG，连接GM、AM，过E作EN⊥AM于N，
则四边形AEMG是平行四边形，
∠MEA+∠EAG=180°，∵∠EAG+∠FAD=180°(周角)
∴∠MEA=∠FAD，
∵AF=AE，AD=AG=EM，∴△AEM≌△FAD
∴FD=AM，AP=EN
∵AEMG是平行四边形，∴△AEM的面积=△AEG的面积=1/2平行四边形AEMG的面积
∴1/2*AM*EN=1/2*EG*AQ
∴EG:AM=EN:AQ
∴EG:FD=AP:AQ(与你的结论有差距，请你审核)

追问

/2*AM*EN=1/2*EG*AQ
n怎么来的？

追答

平行四边形的对角线分成两个三角形的面积相等，就是有四个面积相等的三角形。
过E作EN⊥AM于N，EN为三角形AEM的边AM上的高。
图形已发送到信箱。

Answer 3

因为∠EAG=180°－∠DAF
则：sin∠EAG=sin(180°－∠DAF)=sin∠DAF
又：AE=AG，AF=AD
则三角形EAG的面积S1=(1/2)×AE×AG×sin∠EAG
三角形AFD的面积S2=(1/2)×AF×AD×sin∠DAF
则这两个三角形面积相等，又：S1=(1/2)×EG×AQ，S2=(1/2)×DF×AP
则：EG×AQ=DF×AP，即EG：DF=AP：AQ

追问

为什么sin∠EAG=sin(180°－∠DAF)=sin∠DAF

追答

若a＋b=180°，即：a=180°－b，则：
sina=sin(180°－b)=sinb
【三角诱导公式】

追问

我们初中好像没学过这个公式吧， AE=AG，AF=AD这两个边也不相等啊

追答

AE=AF，AQ=AD

追问

能讲讲三角诱导公式具体是什么吗？

追答

诱导公式指的是【不同的角】的【同一个三角函数】的值之间的关系。
如：
sin(90°－a)=cosa，cos(90°－a)=sina
sin(90°＋a)=cosa，cos(90°＋a)=－sina
sin(180°＋a)=－sina，cos(180°－a)=－cosa
等等。
诱导公式有很多组，可以简记为：90°±a、±a、180°±a、270°±a、360°±a、k×360°±a等等

Answer 4

过点D做DN垂直AF，交直线AF于点N；过点G做GM做GM交直线AE于点M。

易知∠1=∠2，∠2与∠3互余，∠3与∠4互余

所以∠1=∠4，而AD=AG，∠DNA=∠GMA=90度

所以ΔDNA≌ΔGMA，

DN=GM，而AF=AE

所以SΔDNA=SΔGMA，

所以EG*AQ/2=FD*AP/2

即EG:FD=AQ:AP

Answer 5

根据面积相等来做
延长FA,过D点做FA的垂线 垂足为M
过G点作AE的的垂线，垂足为N
因为∠MAD+∠GAM=∠GAD=90
∠NAG+∠GAM=∠NAM=90
所以∠MAD=∠NAG 又因为GA=AD ∠GNA=∠DMA=90
所以三角形GNA与三角形DMA全等 所以GN=DM
又因为EA=AF 所以三角形GEA的面积等于三角形DAF
所以EG*AQ=FD*AP
即 EG:FD等于AQ:AP

追问

哥们，能弄个图吗，叙述的不太清楚

追答

不好意思，不好画，应该好理解，哪里不清楚？