在平面直角坐标系中，M、N分别为椭圆x^2/4+y^2/2=1的顶点，过坐标系原点作直线分别交于P、A两点，
在平面直角坐标系中，M、N分别为椭圆x^2/4+y^2/2=1的顶点，过坐标系原点作直线分别交于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC,并延长...
在平面直角坐标系中，M、N分别为椭圆x^2/4+y^2/2=1的顶点，过坐标系原点作直线分别交于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC,并延长交椭圆与点B，设直线PA的斜率为k。（A在y轴左侧，P,B,C在y轴右侧）
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值。
（2）对任意k>0,求证：PA垂直于PB. 展开
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值。
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解：(1)有题知M（-2,0），N（0，-√2）∴MN中点坐标
（-1，-√2／2），PA此时过点（0,0），（-1，-√2／2），
∴K=（-√2／2）／（-1）=√2／2。
（2）K=2时，设P（m，2m）代入椭圆方程x²／4+y²／2=1，
解得m=2／3，即P（2／3，4／3），则C（2／3，0）。过A作AD垂直于x轴于D，易得|CD|=|OC|+|OD|=4∕3=|DA|，故∠ACD=45°，则∠PCB=45°从此可得P到AB的距离d=√2／2×|PC|=2√2∕3。
（3）设点P(x1，y1)，点B（x2，y2），则直线AP斜率
K=[y1-﹙-y1﹚]／[x1-﹙-x1﹚]=y1／x1。
AC斜率=AB斜率=[0-﹙-y1﹚]／[x1-﹙-x1﹚]
=0.5K，PB斜率×AP斜率=PB斜率×2×AB斜率
=﹙y2-y1﹚／﹙x2-x1﹚×2×[y2-﹙-y1﹚]／[x2-﹙-x1﹚]
=[﹙2y2﹚²-﹙2y1﹚²]／[﹙x2﹚²-﹙x1﹚²]
=﹛[4-（x2）²]-[4-（x1）²]﹜／[﹙x2﹚²-﹙x1﹚²]=-1.
故K﹥0时AP⊥BP成立。
说明：这道题一般卷子给的答案，先设直线方程，代入椭圆方程，求点坐标，用斜率公式及其它定理，太耗精力。这里就是抓住等腰直角三角形的斜边与直角边的关系，抓住中心对称点的坐标关系，巧妙解题。真是无巧不成书呀！平面几何和解析几何同属几何，所以圆锥曲线解题一定要把平面几何知识发扬光大，特别那些直观明了的东西。
（-1，-√2／2），PA此时过点（0,0），（-1，-√2／2），
∴K=（-√2／2）／（-1）=√2／2。
（2）K=2时，设P（m，2m）代入椭圆方程x²／4+y²／2=1，
解得m=2／3，即P（2／3，4／3），则C（2／3，0）。过A作AD垂直于x轴于D，易得|CD|=|OC|+|OD|=4∕3=|DA|，故∠ACD=45°，则∠PCB=45°从此可得P到AB的距离d=√2／2×|PC|=2√2∕3。
（3）设点P(x1，y1)，点B（x2，y2），则直线AP斜率
K=[y1-﹙-y1﹚]／[x1-﹙-x1﹚]=y1／x1。
AC斜率=AB斜率=[0-﹙-y1﹚]／[x1-﹙-x1﹚]
=0.5K，PB斜率×AP斜率=PB斜率×2×AB斜率
=﹙y2-y1﹚／﹙x2-x1﹚×2×[y2-﹙-y1﹚]／[x2-﹙-x1﹚]
=[﹙2y2﹚²-﹙2y1﹚²]／[﹙x2﹚²-﹙x1﹚²]
=﹛[4-（x2）²]-[4-（x1）²]﹜／[﹙x2﹚²-﹙x1﹚²]=-1.
故K﹥0时AP⊥BP成立。
说明：这道题一般卷子给的答案，先设直线方程，代入椭圆方程，求点坐标，用斜率公式及其它定理，太耗精力。这里就是抓住等腰直角三角形的斜边与直角边的关系，抓住中心对称点的坐标关系，巧妙解题。真是无巧不成书呀！平面几何和解析几何同属几何，所以圆锥曲线解题一定要把平面几何知识发扬光大，特别那些直观明了的东西。
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