Question

已知三角形ABC中，满足A-C=90度a+c=根号2b求角c

Answer 1

A-C=90度 A=C+90°
a+c=根号2b
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
设a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
a=ksinA b=ksinB c=ksinC 代入得
ksinA+ksinC=√2*ksinB
所以 sinA+sinC=√2*sinB
cosC+sinC=√2*sin(180°-A-C)=√2*sin(90°-2C)=√2*cos2C
cosC+sinC=√2*(cos^2C-sin^2C)=√2*(cosC-sinC)(cosC+sinC)
cosC-sinC=√2/2 cosC+sinC≠0
平方得
1-sin2C=1/2
sin2C=1/2 a为最大边，c为最小边，C为最小角，
∴2C=30°
C=15°

Answer 2

A-C=90`，则A=C+90`

sinA=sin(90`+C)=cosC

根据正弦定理，a=bsinA/sinB=bcosC/sinB c=bsinC/sinB

由于a+c=√2b 于是bcosC/sinB+bsinC/sinB=√2b

cosC/sinB+sinC/sinB=√2

两边同乘以sinB得，cosC+sinC=√2sinB

两边同除以√2得，cosC/√2+sinC/√2=sinB

分母有理化得，(√2/2)cosC+(√2/2)sinC=sinB

sin45`cosC+cos45`sinC=sinB

利用正弦的和角公式得，sin(45`+C)=sinB

于是45`+C=B或45`+C=180-B [同角或等角的正弦相等，互补角的正弦也相等]

由于A+B+C=180`

于是，若45`+C=B 而已知A=C+90`

于是C+90`+C+45`+C=180` 3C=45` C=15`

若C+45`=180-B即B=180`-45`-C=135`-C 而已知A=90`+C

则90`+C+135`-C+C=180`，出现负角，不合题意，舍去。

所以C=15`