Question

用P(n)表示正整数n的各位数字之和，求所有这样的三位数n，使得满足： P(n+3)=(1/3)P(n)

Answer 1

P(n+3)是整数，则推得P(n)能被3整除，推得N能被3整除。

即有三位数A+B+C，A+B+C = 3K
有关系式：
A+B+C+3-9P = (A+B+C)/3
P表示ABC+3时发生进位的次数。化简得
3K + 3 - 9P = 3K/3 即
9P = 2K + 3
即推得2K + 3能被9整除，则
①
K = 3、P = 1
ABC的和为3*3=9，且ABC+3时发生1次进位。则有
108 + 3 = 111
117 + 3 = 120
207 + 3 = 210

②
K = 12、P = 3。
ABC的和为36，不可能，舍弃。以下的K均过大，舍弃

综上，符合条件的三位数N有三个：108、117、207