已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d(b,c,d为常数)的导函数f'(x)=3x^2+4x且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax^2
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由求导函数的法则
对f(x)=x^3+bx^2+cx+d求导得:f'(x)=3x^2+2bx+c
对照已知的导函数f'(x)=3x^2+4x
可得到b=2,c=0
则f(x)=x^3+2x^2+d
又f(1)=7,
即7=1^3+2*1^2+d
得d=4
所以:f(x)=x^3+2x^2+4
则f(x)=f(x)-ax^2=x^3+2x^2+4-ax^2=x^3+(2-a)x^2+4
(1)当a<2时,求导得f'(x)=3x^2+(4-2a)x
令f'(x)=0得x1=0,x2=(2a-4)/3
。且x2<x1(a<2.2a-4<0)
然后求
(负无穷大,x2),(x2,0),(0
正无穷大)这3个区间上的导数的正负号
判断极小值
得极小值=f(0)=0
(2)f(x)=x^3+(2-a)x^2+4≥0
解不等式方程就可以了
得
a小于等于6
对f(x)=x^3+bx^2+cx+d求导得:f'(x)=3x^2+2bx+c
对照已知的导函数f'(x)=3x^2+4x
可得到b=2,c=0
则f(x)=x^3+2x^2+d
又f(1)=7,
即7=1^3+2*1^2+d
得d=4
所以:f(x)=x^3+2x^2+4
则f(x)=f(x)-ax^2=x^3+2x^2+4-ax^2=x^3+(2-a)x^2+4
(1)当a<2时,求导得f'(x)=3x^2+(4-2a)x
令f'(x)=0得x1=0,x2=(2a-4)/3
。且x2<x1(a<2.2a-4<0)
然后求
(负无穷大,x2),(x2,0),(0
正无穷大)这3个区间上的导数的正负号
判断极小值
得极小值=f(0)=0
(2)f(x)=x^3+(2-a)x^2+4≥0
解不等式方程就可以了
得
a小于等于6
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f'(x)=3x^2+2bx+c=3x^2+4x,所以b=2,c=0。
f(x)=x^3+2x^2+d,f(1)=1+2+d=7,d=4,f(x)=x^2+2x^2+4。
F(x)=f(x)-ax^2=x^3+(2-a)x^2+4。F'(x)=3x^2+2(2-a)x=x(3x+4-2a)。
1)若a<=2,即(2a-4)/3<=0,则F(x)在区间[0,+无穷)上单调递增,F(0)=4>0。
则对x属于[0,+无穷),都有F(x)>0成立。
2)若a>2,即(2a-4)/3>0,则F(x)在区间[0,+无穷)上的最小值为
F[(2a-4)/3]=8(a-2)^3/27-4(a-2)^3/9+4=-4(a-2)^3/27+4。
令F(x)=-4(a-2)^3/27+4>0,则解得:a<5,即2<a<5。
综上所述,a的取值范围是(-无穷,5)。
f(x)=x^3+2x^2+d,f(1)=1+2+d=7,d=4,f(x)=x^2+2x^2+4。
F(x)=f(x)-ax^2=x^3+(2-a)x^2+4。F'(x)=3x^2+2(2-a)x=x(3x+4-2a)。
1)若a<=2,即(2a-4)/3<=0,则F(x)在区间[0,+无穷)上单调递增,F(0)=4>0。
则对x属于[0,+无穷),都有F(x)>0成立。
2)若a>2,即(2a-4)/3>0,则F(x)在区间[0,+无穷)上的最小值为
F[(2a-4)/3]=8(a-2)^3/27-4(a-2)^3/9+4=-4(a-2)^3/27+4。
令F(x)=-4(a-2)^3/27+4>0,则解得:a<5,即2<a<5。
综上所述,a的取值范围是(-无穷,5)。
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f'(x)=3x^2+2bx+c=3x^2+4x,所以b=2,c=0。
f(x)=x^3+2x^2+d,f(1)=1+2+d=7,d=4,f(x)=x^2+2x^2+4。
F(x)=f(x)-ax^2=x^3+(2-a)x^2+4。F'(x)=3x^2+2(2-a)x=x(3x+4-2a)。
1)若a<=2,即(2a-4)/3<=0,则F(x)在区间[0,+无穷)上单调递增,F(0)=4>0。
则对x属于[0,+无穷),都有F(x)>0成立。
2)若a>2,即(2a-4)/3>0,则F(x)在区间[0,+无穷)上的最小值为
F[(2a-4)/3]=8(a-2)^3/27-4(a-2)^3/9+4=-4(a-2)^3/27+4。
令F(x)=-4(a-2)^3/27+4>0,则解得:a<5,即2
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f(x)=x^3+2x^2+d,f(1)=1+2+d=7,d=4,f(x)=x^2+2x^2+4。
F(x)=f(x)-ax^2=x^3+(2-a)x^2+4。F'(x)=3x^2+2(2-a)x=x(3x+4-2a)。
1)若a<=2,即(2a-4)/3<=0,则F(x)在区间[0,+无穷)上单调递增,F(0)=4>0。
则对x属于[0,+无穷),都有F(x)>0成立。
2)若a>2,即(2a-4)/3>0,则F(x)在区间[0,+无穷)上的最小值为
F[(2a-4)/3]=8(a-2)^3/27-4(a-2)^3/9+4=-4(a-2)^3/27+4。
令F(x)=-4(a-2)^3/27+4>0,则解得:a<5,即2
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函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d(b,c,d为常数)的导函数f'(x)=3x^2+4x;
对照得f`(x)=3x^2+2bx+c
b=2;c=0
f(1)=1+b+c+d=7,
d=4
F(x)=x^3+2x^2+4-ax^2>0即(a-2)x^2
0
只需a-2
0
g`(x)=1-8/x^3=(x^3-8)/x^3=0,
得x=2
0
2时,g(x)=x+4/x^2是增函数
所以x=2时,g(x)=x+4/x^2取到最小值2+4/4=3
所以只需a-2<3;即a<5
a的取值范围是(-∞,5)
对照得f`(x)=3x^2+2bx+c
b=2;c=0
f(1)=1+b+c+d=7,
d=4
F(x)=x^3+2x^2+4-ax^2>0即(a-2)x^2
0
只需a-2
0
g`(x)=1-8/x^3=(x^3-8)/x^3=0,
得x=2
0
2时,g(x)=x+4/x^2是增函数
所以x=2时,g(x)=x+4/x^2取到最小值2+4/4=3
所以只需a-2<3;即a<5
a的取值范围是(-∞,5)
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函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d(b,c,d为常数)的导函数f'(x)=3x^2+4x;
对照得f`(x)=3x^2+2bx+c b=2;c=0
f(1)=1+b+c+d=7, d=4
F(x)=x^3+2x^2+4-ax^2>0即(a-2)x^2<x^3+4
x=0时,a可以取任意实数;x≠0时,考虑x>0
只需a-2<x+4/x^2恒成立;a-2<[x+4/x^2]min
设g(x)=x+4/x^2, x>0
g`(x)=1-8/x^3=(x^3-8)/x^3=0, 得x=2
0<x<2时,g(x)=x+4/x^2是减函数;x>2时,g(x)=x+4/x^2是增函数
所以x=2时,g(x)=x+4/x^2取到最小值2+4/4=3
所以只需a-2<3;即a<5
a的取值范围是(-∞,5)
对照得f`(x)=3x^2+2bx+c b=2;c=0
f(1)=1+b+c+d=7, d=4
F(x)=x^3+2x^2+4-ax^2>0即(a-2)x^2<x^3+4
x=0时,a可以取任意实数;x≠0时,考虑x>0
只需a-2<x+4/x^2恒成立;a-2<[x+4/x^2]min
设g(x)=x+4/x^2, x>0
g`(x)=1-8/x^3=(x^3-8)/x^3=0, 得x=2
0<x<2时,g(x)=x+4/x^2是减函数;x>2时,g(x)=x+4/x^2是增函数
所以x=2时,g(x)=x+4/x^2取到最小值2+4/4=3
所以只需a-2<3;即a<5
a的取值范围是(-∞,5)
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