Question

急求..高分悬赏~~一道数学题...

设f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且a≤f（x）≤b，求证：在[a，b]上至少有一个常数c ，使f（c）=c

高手帮忙证一下!!

Answer 1

朋友，我想说你给的条件是错误的，所以我不知道你到底是在求解罗尔定理的证明，还是拉戈朗日定理的证明。我先把两个定理的定义给你，你选择好了你到底要什么在发信件给我吧。

罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间内（a,b）内可导，且在区间端点的函数相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)内至少有一点e(a<e<b),使得函数f(x在该点的导数等于零：f'(e)=0

拉格朗日定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点e(a<e<b),使等于f(b)-f(a)=f'(e)(b-a)成立。

Answer 2

柯西中值定理

Answer 3

不知道你学过大学数学的拉格朗日定理没?
用拉格朗日定理
令x，y是方程的2个端点
所以f(x)-f(y)=f'(e)(x-y). （x＜＝e＜＝y）
所以f'(e)=[f(x)-f(y)]/(x-y)为两个端点连线的直线
即为旋xy的斜率．
即至少存在一点的导数等于弦xy的斜率．
即可证明在[x，y]上至少有一个常数e，使f（e）=ce
然后将x换成a，y换成b．
因为〔a，b〕上且连续，
所以满足拉格朗日定理中的连续且可导的条件．
所以设f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且a≤f（x）≤b，求证：在[a，b]上至少有一个常数c ，使f（c）=c

Answer 4

饿看不懂？

Answer 5

同学，你的题目没有错，也不用上面几位说的中值定理，因为不需要用到可导性质，只用连续性

设g(x)=f(x)-x 那么g(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线
也就是g在[a,b]上连续 且g(a)=f(a)-a>=0 g(b)=f(b)-b<=0
直接利用连续函数在闭区间上的介值性(能取到最大值和最小值中的任何一个值) 即存在c属于[a,b]使得g(c)=0即f(c)-c=0 ==> f(c)=c

Answer 6

反证法