Question

求定积分∫ 根号(1-x^2)dx(上下限0—1/2)

Answer 1

设x = siny，dx = cosy dy
当x = 0，y = 0；当x = 1/2，y = π/6
∫(0→1/2) √(1 - x²) dx
= ∫(0→π/6) √(1 - sin²y) • cosy dy
= ∫(0→π/6) cos²y dy
= (1/2)∫(0→π/6) (1 + cos2y) dy
= (1/2)(y + 1/2 • sin2y) |(0→π/6)
= (1/2)(π/6 + √3/4)
= (3√3 + 2π)/24

追问

这是什么方法？我们好像还没学，看不懂。

追答

这是第二类换元积分法，用三角函数作代换的
或者，用几何意义求这个也可以，就是找面积
这积分表示的区域是圆x² + y² = 1，圆心(0，0)，半径1
在第一象限内的1/4个圆和弦x = 1/2截到的面积
http://hiphotos.baidu.com/fin3574/pic/item/425bf9335c6034a8fdca5736cb134954082376da.jpg
用几何意义解：
将区域割为一个扇形ACD和一个直角三角形ABC
三角形面积为(1/2)(AB)(BC) = (1/2)(1/2)√(1 - (1/2)²) = √3/8
cos∠BAC = AB/AC = 1/2
∠BAC = 60°
∠CAD = 90° - 60° = 30°
扇形面积为30°/360° • π(1)² = π/12
所以整个面积为π/12 + √3/8 = (3√3 + 2π)/24