Question

已知定义域为R的函数F（x）满足F（F（x）-x²+x）=F（x）-x²+x。 设有且仅有一个实数X。使得F（x

求F（x)的解析式
使得F（x）=x

Answer 1

解：设使得F（x）=x的唯一值是x0，即F(x0)=x0 .......（1）
将（1）式带入F（F（x）-x²+x）=F（x）-x²+x得
F(2x0-x0^2)=2x0-x0^2 .......(2)
因为使得F（x）=x的唯一值是x0，所以在（2）中必然有：
2x0-x0^2=x0
解得x0=0或x0=1

回到式子F（F（x）-x²+x）=F（x）-x²+x，还是由条件”使得F（x）=x的唯一值是x0“，推出：
F（x）-x²+x=x0
即F(x)=x^2-x或F(x)=x^2-x-1
分别验证它们是不是满足”F（x）=x只有唯一解“，发现F(x)=x^2-x不满足这一条件，而F(x)=x^2-x-1满足，故舍去F(x)=x^2-x，最终结果为：
F(x)=x^2-x-1
解答完毕，祝你好运！

ps：I'm数学博士，欢迎您的提问。

追问

就是F（x0）=2x0-x0²=x0 不理解。

追答

哪一行啊？第5行？倒数第六行？说清楚。如果是第5行，你就把(2)中的2x0-x0^2看成一个整体就明白了，具体的说就是：
令y0=2x0-x0^2，则（2）式成为
F（y0）=y0
由条件，必然有y0=x0

懂了吗？