Question

一道定积分的证明题，详情请见下图

Answer 1

因为f(x)= ∫(1->x) lnt/(1+t) dt
f(1/x)= ∫ (1-> 1/x) lnt/(1+t) dt = ∫(1->x) ln(1/t)/(1+1/t) d(1/t)
= -∫(1->x) ln(1/t)/(1+1/t) (1/t^2) dt
= ∫(1->x) lnt/(t+1/t^t) dt
所以 f(x)+f(1/x)= ∫(1->x) lnt/(1+t) dt + ∫(1->x) lnt/(t+1/t^t) dt
= ∫(1->x) (t lnt +lnt)/(t+t^2) dt
=∫(1->x) [(t+1)lnt]/[t(t+1)] dt
=∫(1->x) lnt /t dt
=∫(1->x) lnt d(lnt)
=1/2 ln^2 (t) | (1->x)
=1/2 ln^2 (x)-0
=1/2 ln^2 (x)
证明完毕。