Question

满射函数有无反函数？

函数f:R->R,f(x)=x^3-x,此函数是满射函数，问有无反函数？
若定义域改为[1,+∞),有无反函数（若有，反函数是？）

Answer 1

求导y'=3x^2-1，y''=6x,f(x)在x<-√3/3或x>√3/3时递增，(-√3/3,√3/3)递减
f(x)为奇函数。x=-√3/3时y有极小值，x=√3/3时y有极大值
画个草图就看出，f不是单射，故无反函数
当x>=1时f'(x)>0，单调函数必有反函数，反函数满足y^3-y=x(x>=0)

追问

反函数求法不太理解，是直接将x，y互换吗？印象中没有这种求法的吧。

追答

方程y^3-y=x是3次方程，直接解出y很麻烦（三次方程求根公式）
所以用方程表示就可以了