Question

当a满足什么条件时，关于X的方程IX-2I-IX-5I=a有一解？有无数多个解？无解？

Answer 1

若x ≤ 2，则
|x - 2| - |x - 5| = 2 - x - (5 - x) = -3，
可见若a = -3则任意x ≤ 2为方程的解，方程有无数解。而若a ≠ -3则方程在x ≤ 2的区间内无解。
若2 < x < 5，则
|x - 2| - |x - 5| = x - 2 - (5 - x) = 2x - 7，
由2 < x < 5知，-3 < 2x - 7 < 3。由于2x - 7 = a，可见若想方程在2 < x < 5区间内有解，必有-3 < a < 3。则若-3 < a < 3，则方程有唯一解：x = (7+a) / 2。若a ≤ -3 或 a ≥ 3则方程在2 < x < 5区间内无解。
若x ≥ 5，则
|x - 2| - |x - 5| = x - 2 - (x - 5) = 3，
可见若a = 3则任意x ≥ 5为方程的解，方程有无数解。而若a ≠ 3则方程在x ≥ 5的区间内无解。
综上
若a ≤ -3 或 a ≥ 3，则方程在x ≤ 2，2 < x < 5和x ≥ 5区间内都无解，显然方程在整个实数集上无解；
若a = -3，则方程在x ≤ 2上有无穷多解，而在2 < x < 5和x ≥ 5区间内无解；
若a = 3，则方程在x ≥ 5上有无穷多解，而在x ≤ 2和2 < x < 5区间内无解；
若-3 < a < 3，在2 < x < 5区间内有唯一解：x = (7+a) / 2，而在x ≤ 2和x ≥ 5区间内无解。
结论：
若a ≤ -3 或 a ≥ 3，方程无解；
若a = -3或a = 3，方程有无穷多解；
若-3 < a < 3，方程有唯一解。