Question

已知向量m＝（a—c，b），n＝（a＋c，b－a），且m×n＝0，其中A.B.C是三角形ABC的三内角，a.b.c分别是角

已知向量m＝（a—c，b），n＝（a＋c，b－a），且m×n＝0，其中A.B.C是三角形ABC的三内角，a.b.c分别是角A.B.C的对边，且c＝2√3
求角C的大小
求三角形ABC周长的取值范围

Answer 1

m.n=0
(a-c,b).(a+c,b-a)=0
a^2-c^2+b^2 -ab =0
c^2 = a^2+b^2-ab
by cosine-rule
-2abcosC = -ab
cosC = 1/2
C = π/3

ABC周长=S
= a+b+c
= csinA/sinC + csinB/sinC + c
= c( sinA/sinC + sinB/sinC + 1)
= 2√3 ( 2sinA + 2sinB +1)
= 2√3( 2sinA + 2sin(2π/3-A) +1)
S' = 2√3(2cosA -2cos(2π/3-A)) =0
cosA - ((-1/2)cosA + (√3/2)sinA ) =0
(3/2)cosA = (√3/2)sinA
tanA = √3/3
A = π/6 (max)
2√3 <S <= 8√3