Question

高中解析几何,高手来!!!

已知椭圆X^2/2+Y^2=1,过椭圆右焦点F有一条直线L,交椭圆于A,B两点.
问: 当AB长为 (3倍根号2)/2时,直线L的斜率K为何值

Answer 1

解：
椭圆X^2/2+Y^2=1的右焦点是(1,0),
设过右焦点F的直线L的方程为y=k(x-1),
由：
{y＝k(x－1)
{x²＋2y²＝2
消去y，得：
x²＋2k² (x－1)²＝2
整理得：
(1+2k²)x²－4k²x+2k²-2＝0
显然，Δ＝16k^4－4×(1+2k²)×(2k²-2)＝8 k²+8.
由韦达定理，得：
x1＋x2＝4k²/(1+2k²),
x1•x2＝(2k²-2)/(1+2k²),
直线被椭圆x²＋2y²＝2截得的弦长为|AB|，A(x1，y1)，B(x2，y2)
则|AB|＝√(1＋k²) • √[(x1＋x2)²－4x1x2]
＝√(1＋k²) •√{[4k²/(1+2k²)]²－4 (2k²-2)/(1+2k²)}
=√(1＋k²) •√[8 (1＋k²)]/(1+2k²)
=(2√2) (1＋k²) /(1+2k²)
＝(3√2)/2
解得k=±√2/2.
∴直线L的方程为y=±√2/2* (x-1).
【记住】
弦长公式：|AB|＝√(1＋k²) • √[(x1＋x2)²－4x1x2] (其中k为直线的斜率)