Question

行列式某一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积的和为零 是什么意思？

通俗点吧~~谢谢各位好人帮我解释下

Answer 1

将第i行加到第j行上（让悉行列式值不变），再将行列式按第j行张开，得档滑袭

D = （aj1 + ai1）Aj1 + （aj2 + ai2）Aj2 + ……+ （ajn + ain）Ajn

=  D + （ai1Aj1 + ai2Aj2 + …… + ainAjn）

所以上式后面部分为0

拓展资料：

1、行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

2、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

3、行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍行兄然是A。

参考资料：百度百科，行列式

Answer 2

我举个例子，就很清楚了，要知道a11的代数余子式与其所处的一行一列位置的元素是无关的，第一行元素同理，此时用第二行的元素乘第一行代数余子雀亩式就相当于把第一行位置上的所顷瞎森有元素全部神埋由第二行元素替代，两行相等，行列式为零

Answer 3

因为行列式D按行展开并键公式是某一行与另一行对应元素相乘汪燃，那么
行列式某一行元素与另一行对应元素的代困蔽虚数余子式乘积就相当于D中有两行的元素是一样的，
所以根据行列式的性质它就等于0了。

追问

我好混乱啊~~~求求你帮帮我
行列式D按行展开公式不是：第一行各元素 与 第一行各元素的代数余子式相乘吗？

追答

你可以这样理解：先把行列式中的第i 行元素设为
x1, x2, ..., xn, 其他的元素为a(jk),(第j行第k列元素)， 再按第i行展开就得到
D=x1*A(i1)+x2*Ai2+...+xn*Ain,
再令x1=a(k1),x2=a(k2),...,xn=a(kn), 则
a(k1)*A(i1)+a(k2)*A(i2)+...+a(kn)*A(in)=D
当k不等于i 时，行列式D中第i行与第k行元素就相同了，此时D=0,
这样就可以得到你的结论了。

追问

[ 当k不等于i 时，行列式D中第i行与第k行元素就相同了，此时D=0 ]
这句话我还是不明白~能不能给我举个实例？谢谢~~

还有一时间k是列，一时k是行，我怎么也想想不出所以然来~

最后结论本身没说到要 行列式中某两行相同 才满足结论啊？

问题有点多有点麻烦，真是麻烦你了~

追答

"还有一时间k是列，一时k是行"从这句话来看，你对行列式定义根本没理解，至于哪个是行哪个是列是看字母下面的足标的，即a下面的字母，第一个字母表示行，另一个字母表示列。
至于上面说的具体见图片。

追问

我大概有点明白了~

行列式D中存在等式：
D=x1*A(i1)+x2*Ai2+...+xn*Ain,
若令
x1=a(k1),x2=a(k2),...,xn=a(kn),
则D等价于
D=a(k1)*A(i1)+a(k2)*A(i2)+...+a(kn)*A(in)

如果k不等于i （通俗点讲就是行列式中其实存在完全相同的两行）
那么行列式D中第i行与第k行元素就相同了
由定理【行列式中存在完全相同的两行则行列的值为零】得出
D=0,

解释对否？
那我还想问一下，这个定理应用在题目的情况多不多？

追答

解释对的。这个定理的应用在题目中主要应用有矩阵中
AA*=A*A=|A|E的证明中，在考研中也是经常会碰到的。你也可以只要记住结论就行了，
具体的证明过程不理解也是无所谓的。

Answer 4

个人理解是 根据定理：n阶行列式等于它的任意一行的昌塌各元素与其对耐则圆应的代数余子式乘积之和。
某一行元盯州素A 乘以 另一行元素B 的 代数余子式C 的乘积之和，就相当于把A替代为C的B，然后两行相等 行列式为零。

Answer 5

引用wxsh8017316的回答：
因为行列式D按行展开公式是某一行与另一行对应元素相乘，那么
行列式某一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积就相当于D中有两行的元素是一样的，
所以根据行列式的性质它就等于0了。

这个跟改橡书上的解答过程一致，但是我觉得这个矩阵的构造具有特殊性，没有一般性，你都是假设这么一个两行相等的矩阵才能证明一行元素与另一行元素的代数余子式核指旁乘积只和为零了，那是否逗虚只能说明这种情况是个特例呢？当矩阵每一行都不相同的时候你怎么证明呢？