Question

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
①量得OA=3cm；
②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．
请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F．求证：S梯形EFGH=16(EF2-9)

要第三题的过程 谢啦

Answer 1

解：
（1）抛物线的对称轴x=3/2；
（2）设抛物线的解析式为y=a(x-3/2)^2+k，依题意，C点坐标为（9/2，9/2+k）把A、C代入，解得a=1/2，k=-9/8，所以抛物线的解析式为y=(1/2)(x-3/2)^2-9/8=x^2/2-3x/2；
（3）过E作ED垂直FG于D点，设H(m,，0)，G（n，0）、则E（m，m^2/2-3m/2）、F（n，n^2/2-3n/2），n-m=3，
DF=(n^2/2-3n/2)-(m^2/2-3m/2)=(n-m)(n+m-3)/2=3m
EH+FG=(m^2/2-3m/2)+(n^2/2-3n/2)=(m^2+n^2)/2-3(m+n)/2=m^2
EF^2=DF^2+ED^2=9+9m^2
所以(EF^2-9)/6=(9+9m^2-9)/6=3m^2/2
S梯形EFGH=0.5*3*(EH+FG)=0.5*3*m^2=3m^2/2
所以S梯形EFGH=(EF^2-9)/6